DELA RECHERCHE

et 1 90 qui sont dans la seconde colonne , leurs différences ne pourraient pas diviser ces mêmes nombres 170 et 190. Et en effet la différence entre 17 et — 7, qui est 34, divise 170; et la différence de ii et — 7 , qui est 19, divise aussi 1 90. Enfin la différence entre uj et 17, qui est 10, divise aussi 170; mais la différence entre 12 et — 13, qui est 15, ne divise pas 190, c'est pourquoi je rejette la dernière progression. La première me donne pour =f: C, — 7, et o pour ip-5, parce que les termes de la progression n'ont aucune différence. Ainsi le diviseur qu'il faut essayer est AllzizBl'àzCj qui devient 3 J^* + 7. La division réussit^ et le quotient est y^ — ij^* ~ ij^ + 2.

Si on ne peut trouver par cette méthode aucun diviseur qui réussisse, il en faut conclure que la quantité proposée n'a aucun diviseur de deux dimensions.

La même méthode pourrait s'étendre à la recherche de diviseurs de dimensions plus élevées , en cherchant dans les. sommes et les différences, non des progressions arithmétiques, mais d'autres progressions quelconques, dont les différences premières, secondes» troisièmes, etc., seraient en progression arithmétique; mais il ne faut pas y arrêter les commençans.

Lorsqiium quantité proposée contient deux lettres , et que tous ses termes contiennent le menu nombre de dimensions , metU[ à la place £unt de ces lettres Funité; ensuite^ par Us règles précédentes ^ cherchei le diviseur de utte quantité y et completua^ les dimensions du diviseur^ en remettant à la place de runité la leure que vous avie^ supprimée.

Par exemple, si la quantité é^t 6y^ — cy^ — i.\ày^ + %^y + 2oc^, dans laquelle tous les termes sont de quatre dimensions; à la place de ç mettez i , et la quantité deviendra éj'^ — y^ — 21^*

DESDIVISEURS. 53

+ ÎJ' + ^^9 ^^^^ ^^ trouvera, comme ci-dessus, que le diviseur e^ 3 j^ + 4 , et complettant la dimension qui manque au dernier terme en remettant c, le diviseur cherché sera 'iy + ^c. Si Ja quantité était x^ — bx^ — 5i^jc* + iib^ x — 6^^, mettez i pour*, vous aurez pour résultat x^ — x^ — ^x^ + 12:1; — 6, dont le diviseur est jc* + ijc — 1. Je complette les dimensions qui lui manquent en remettant *, et le diviseur trouvé devient x* + ibx ^xb\

Lorsqu'il y a trois ou un plus grand nombre de lettres dans la quantité proposée, et que tous sos termes ont le même nombre de dimensions, on en peut trouver le diviseur par les règles précédentes ; mais on pourrait abréger l'opération en cette manière : Cherche^ tous Us diviseurs de tous ks termes dans lesquels uru des lettres ru se trouve pas ; chercht[ pareillement tous les diviseurs de tous kjf^urmes dans lesquels une- seconde lettre ne se trouve pas ; cherche^ de nouveau tous les diviseurs de tous les termes dans lesquels une troisième ^ une quairihne^ une cinquième lettres ne se trouvera pas. Parcourc:(^ de cette maniire toutes les lettres. Ecrive^ respectivement tous ces diviseurs sur la même ligne hori^ontak que les lettres ; examine^ ensuite si dans quelque série des diviseurs dont les urmes sont pris d*une ligne koriiontale à Vautre^ examiru[y dis^je^ si les parties de ces diviseurs j composées d*une seule lettre, se répètent autant de fois moins une quil y a de lettres dans la quantité proposée j et si les parties des diviseurs ^ composées de deux lettres^ se répètent autant de fois moins deux qtiil y a de lettres dans la quantité proposée. SUl en est ainsi ^ toutes ces parties prises une seule fois avec leur signe formeront le diviseur cherché (6).

Soit la quantité proposée iix^ — i^bx^ + ^cx' -r îib^x — 6bcx + 8 ^* f + 8 A' — iiZ»* c — 4tc^ + 6c^i en cherchant par les règles

xb — ic^ j^b — 6c.

XX — by 4Jt — ib.

54 DELARECHERCHE

précédentes les diviseurs d'une dimension des termes 8^' — iiPc — 4^c* + 6c', dans lesquels il n'y a point dV, on trouvera çfit

ces diviseurs sont xb — 31: et 4A — 6c. Uunique diviseur dé 1 2 *• + 9c** + 8 c- a: + 61:' , oti ^ ne se trouve pas , est- 4 :r + 5 c ; et les diviseurs des termes ha:' — i/^bx^ — ixb^x + %P y dans lesquels c ne se trouve pas , sont xx — bet4x — xb. b Je dispose ces diviseurs dans les lignes des lettres , comme vous pouvez le voir

dans l'exemple à côté, c'est-à-dire que je place les diviseurs des termes où il n'y a point d'x, sur la ligne des r; les divisems des termes où il n'y a point de c, sur la ligne des c; et ceux des termes où il n*y a point de ^ , sur la ligne des b. Comme il y a trois lettres dans la quantité proposée, et que chaque partie des diviseurs n'en contient qu'une, il faut que dans la série des diviseurs ces parties se trouvent répétées deux fois; mais dans les diviseurs J^b — 6c et XX — bj les parties 4^, 6cy xxjby ne se rencontrent qu'une fois, on ne les trouve plus hors du diviseur dont elles font partie ; en conséquence je néglige ces diviseurs, et il ne m'en reste plus que trois, qui sont xb — 3c, 4^ + 3^, et 4* — xb. Ces diviseun forment une série qui se continue par toutes les lettres Xj b^ c^ et chacune de leurs parties 1^, 4^:, 3c se trouve deux fois répétée dans la série, comme il fallait qu'elle le fïït, et avec les mêmes signes , pourvu qu'on change ceux du diviseur xb — 3c, et qu'on l'écrive ainsi — 2* + 3 c, ce qui est toujours permis ; car lorsqu'une quantité est le diviseur d'une autre , elle le sera encore si on change st% signes. Je prends donc une seule fois chacune des parties de ces diviseurs avec son signe, et la somme — 2* + 3c + 4Ar ser»

le diviseur qu'il ftUait trouver. En effet, si on l'emploie pour diviser la quantité proposée, on obtient pour quotient ^x^ — ibx + ic^

Si la quantité proposée est iix^ — loax^ — ^bx^ — z6a^x^ + liatx^ + 64* jc' + 1411^^:^ — 8^"*^:* — Sab'x'' — 14*'^:* — j^a^ bx + 6à^b^x — iiab^ x + iSb^x + tia'^b + ^la^b^ — iib^ ; je place les diviseurs des termes où il n'y a point d'x^ sur la ligne des X ; ceux des termes où il n'y a point d'^, sur la ligne des a; et ceux des termes où il n'y a point de 6, sur la ligne des 6, comme vous pouvez le voir dans l'exemple, ^

X \by 2*, 4*, tf* + 3**, Itf* + 6**, 4a* + llb',b^ — 3^*, ib^ —

a \4X^ — }bx + ib^^ IIa:* — ^bx^ 6b^.

b \x^ XX ^ 3 a: — 4tf, 6x — 8tf, 3 j:* — 4^^, 6a:^ — 8a;i:, zx^ +

Ensuite il est manifeste qu'il faut rejeter tous les diviseurs d'une dimension, car les simples, tels que *, 1*, 4b, x^ ix-, etc., et les parties des composés jx — 4^, 6x — 8tfnese trouvent qu'une seule fois parmi tes diviseurs; or il y a trois lettres dans la quantité proposée , et les diviseurs simples d'une seule dimension , et les parties d'une seule dimension des oiviseiu-s composés, telles que 3. a; — 4 tf ne contenant qu'une seule lettre , devraient s'y trouver deux fois.

Il faut également rejeter les diviseurs de deux dimensions , tels que tf*+ 3 A*, xa^ +6A*, 40^ + 12**, b^ — 3^*, et 4** — ii^*, parce que les parties de ces diviseurs, telles que ^, 2^^, 4^^, b^ et 4b^ ne contiennent chacune qu'une lettre unique, soit â, soit 4, et ne se trouvent qu^une seule fois parmi les diviseurs. Mais le

5^ DELARECHERCHE

diviseur xb^^-Ca^ qui reste seul dans la ligne des x^ a deux parties, qui ne contiennent chacune également qu'une seule lettre , mais ces parties se trouvent répétées dans d'autres diviseurs; la partie xV" ^ par exemple , se retrouve dans le diviseur 4^* — 3^x4-1 M, etla partie 6tf* se retrouve dans le diviseur j^x^ + xax — 6a^. Il y a plus , ces trois diviseurs 1 ** — 6 n* , 4 ** -^ 3 i;i; + 2 ** , et 4^* + xax — 6a^ forment une série qui parcourt les lignes des trois lettres Xj ay t; et toutes leurs parties ib^j 6a^y 4^^» qui ne renferment qu'une seule lettre, ou ^, ou tf, ou x, se retrouvent deux fois et avec les mêmes signes; les autres parties de ces mêmes diviseurs ^bxy lax nese trouvent à la vérité qu'une seule fois; mais comme elles sont composées chacune de deux lettres, elles doivent être admises. Ainsi rassemblant les parties différentes de ces trois divi* seurs 2^*, 6tf*, 4^:*, '^bxy lax avec leurs propres signes, elles formeront le diviseur cherché xb^ — 6a^ + 4x^ -^ '^bx + lax. Divisez donc la quantité prcçosée par ce diviseur, et vous aurez pour quotient 3 jc' — J^ax^ — la^b — 6b^.

Si tous les termes de la quanûti proposée ri* ont pas le minu nombre de dimensions , il faut Us y ramener en multipliant les- tunns Us moins ekvis par Us dimensions d*uru lettre quel^^nque; ensuiu^ ayam trouvé U diviseur par les rigUs précédentes , il faut effaur la Uttre introduiu.

Soit, par exemple, la quantité proposée ixx^ — x4*x*H-9X* — i%b^x — 6bx+ %x + %b^ — iib^ — 4b + 6. Prenez la lettre quelconque c, et par ses dimensions complettez celles de la quantité proposée en cette manière: i2x' — i4bx^ + çcx*— iib^X'^ 6bcx H- Sc^x + Sb^ — iib^c — 4bc^ + 6c\ Ensuite ayant trouvé le diviseur 4X — 2^ + 3cdc cette nouvelle quantité , effacez ^ , et le diviseur de la quantité proposée est 4 ;i; — 2^+3.

Quelquefois

... .-. -ji