DE LA RÉDUCTION DES ÉQUATIONS

Tels sont les résultats auxquels les problêmes doivent être ramenés. Mais ayant d'entreprendre leur résolution , il est nécessaire ' d'enseigner la méthode de transformer les équations, de les réduire, et d'arriver par les équations moyennes aux équations finales. Je renfermerai dans les règles suivantes tous les moyens de réduire une équation unique.

De la manière de réduire une Équation unique.

RÈGLE PREMIÈRE. LoTsqiùil y a dans une équation des quantités qui se détruisent mutuellement y ou qui peuvent se réunir soit par addition ^ soit par soustraction ^ il faut effectuer ces destructions ou ces réunions; cela diminue k nombre des termes.

Si on a , par exemple , 5^ — 3tf + iJc==5tf+3A:; qu'on retranche de part et d'autre 2 a:, et qu'on ajoute 3/1, et on aura 5* — '^a + zx + -^a — IX = 'ja+ -^x — 1^ + 3^, qui se réduit à

^lf=zSa + x. De même soit ^"^J^ ^* t = a + b. Multiplions

tous les termes par tf, l'équation deviendra xa^b + bx — ab =1 a^ + aby qui se réduit , en effaçant les quantités qui se détruisent , qui se réduit, dis-je, à bx=2a^.

On doit rapporter à cette règle l'arrangement des termes d'une équation , qui consiste à les transporter d'un côté à l'autre du signe d'égalité avec im signe contraire. Par exemple , dans l'équation 5 b = 8 tf + AT , si on veut avoir la valeur de Jt: , il faut ôter de part et d'autre 8tf, ou, ce qui revient au même, transporter 8^ du côté opposé , en changeant son signe , et on aura 5 i — Sa = x. De même si on avait a^ — -^ay :=iab — b' + by^ et qu'on voulut avoir j^, il faudrait transporter — '^ay et ab — b^ de manière que Tome L K

tous les termes affectes de y se trouvassent dans un seul membre , et tout le reste dans l'autre, et on aurait a?" — ^^ + ^* = 3 ^^ -f- ^j^; et en dégageant y ^ comme on l'enseignera dans la règle cinquième^ c'est-à-dire en divisant chaque membre de l'équation par 3^ + ^,

elle deviendrait ''^ T/ 1 "^ '= J» De même l'équation abx'\-a? — a"x=iab^ — labx — Ar% devient, en transposant et en ordon-

— a^ 1 . j — tf*

nant , jc^ = 1 x . , 2 - ou bien x^ , ,

' — '^ab + ab^ + '^ab

RÈGLE IL Si tous les termes (tune équation sont multipliés par une même quantité ^ divisez-les tous par cette quantité; et réciproquement s*ils sont tous divisés par une même quantité^ multiplie^-lcs tous par cette quantité.

Ainsi dans l'équation i^ b' =z i^ab -{- -^bx^ divisez tous ses termes par ^, et elle deviendra i^b=:i4a + ^x; ensuite divisez tout par 3 ,

et elle sera réduite à fjb = Sa + x. Soit encore l'équation

^■^T" == -^ ; multipliez tout par c , et vous aurez —

Règle II L 5'// se trouve une fraction irréductible ^ dont le déno^ minatcur contienne la lettre même par rapport à laquelle téquation doit être ordonnée , il faut midtiplier tous Us termes par ce dénominateur ou par quel* qiiun de ses diviseurs»

Soit Téquation -737 -H^ = -^^ et qu'il faille ordonner par rapport à la lettre x ; multipliez tous sqs termes par a — x^ dénominateur

de la fraction ^^^ , puisque x se trouve dans ce dénominateur ; et Téquation deviendra ax + ab — bx =^ax — x^, ou ab — bx = — a:% ou bien, en transposant chaque membre avec des signes

contraires, x^7=3bx — ab. Qu'on ait encore Téquation ^^^j, ^> ■

= y — c , qu'il faille ordonner par rapport k y; multipliez tous ses termes par icy — ic* , ou du moins par un de ses fecteiurs ly — c^ afin de faire disparaître y du dénominateur, et vous aurez — "

ly^ — 'icy + à. C'est ainsi que -^ aes=: x étant multipliée

toute entière par x , devient a^ — ax=s x^ ^ et que -j^ = ^ , ^^

étant d'abord multipliée par x^ , et ensuite par a + b -^ x y devient

RkCLE IV. Si la lettre par rapport à laquelle f équation doit ttrt ordonnée , se trouve unie avec une quantité sourde , il faut transporur tous Us autres termes non affectés de la quantité sourde dans t autre membre de V équation , avec des signes contraires , et multiplier chaqiu membre de F équation une fois par lui-même , si la quantité sourde est une racine quarrée ; Jeux fois y si c^est une racine cubique , et ainsi du reste.

Ainsi pour ordonner Téquation V a^ — ax +a=axy par rapport à jc , il faut transporter a dans l'autre membre , et on a Va^ — a x = x — tf , et en élevant chaque membre au quarré , on a ^i* — ax^sx^*^ — lax + a^y ou bien o=sx^ — axy <jui donne x^=za. Soit

encore y a^x + xax^ — x* — a + x^=Oj en transposant — ^ + Jt,

cette équation devient, ya^x+iax^ — a:' = tf — x, et en élevant chaque membre au cube , on a , tf ^ x + 1 ax^ — x^ = a^ — 3 «* .r + 3 ^ jtr* ~ jc' , ou bien en effaçant tout ce qui se détruit., x^ =^ 4ax — a^.

Soit de même y =Yay +y^ — a\^ ay ^y^s si on élève chacun de ses membres au quarré , on aura

76 DELARÉDUCTION

y^ =iay + y^ — aV ay — y^ ; faisant ensuite les transpositions nécessaires , après avoir effacé y'^ de part et d'autre , l'équation devient ay z=s a\^ ay — j*, ou bien y = V ay — y^^ et en élevant de nouveau tout au quarré, y^ z=zay -^--y^ ^ et en transposant encore.

ay^ ou xyz=za.

RÈGLE V. Lorsqu*on a ordonne tous les termes dune equadon par rapport aux dimensions d^une mime lettre , comme il a été enseigné par les règles précédentes ; si la plus haute dimension de cette lettre est multipliée par une quantité comme y il faxu diviser tome V équation par ceue même quantité*

Soit iy=say en divisant tout par i , on a y= -^; et -^ = ^

devient tx=sa^y ou jr=-^, en divisant tout par —

Et

lac

— la'c + a^c^

a: — u' c* = G, devient, en divisant

tout par la c —

— la^c

lac — c

ou bien x^ +

a^ + a^ c lac —

-^ • jc* — a X

— a'c la — c

RÈGLE VI. On peta quelquefois opérer une réduction en divisant réquation par uru quantité composée»

C'est ainsi que y-

y^ + jbcy — B^c peut se réduire à

^* î= — icy + bc en transportant, d'abord tous les termes d'un

+ ic

même côté en cette manière y y^ l

j^* — 3 *cj^ + *' c = o , et

ensuite en divisant par y — ^ , comme il a été enseigné au chapitre

de la division. Mais il est difficile de trouver ces sortes de diviseurs ; au reste nous en avons précédemment indiqué la méthode (*).

RÈGLE VIL On peut quelquefois réduire une équation m extrayant la racine de chacun de ses membres.

En effet , soit \r^ = ^ tf* — ^* , en tirant la racine quarrée de

chaque membre on a, x = V ^d^ — b^. De même, si on a x^ + a^ = iax + b^j il faut transporter i^ a: , et Téquation devient x^ — lax + a^ =ib^^ et en tirant la racine quarrée de chaque membre , en a , x — a = -|- ou — ^ , ou bien x = adt:b.

Si vous avez x^ =s ax — b^y ajoutez à chaque membre — ax + ia^j et réquation deviendra x^ — ax + ^a^ = ^a^ — b^ ; et en

tirant la racine quarrée de part et d'autre , x — ^a=jdzV ^a^ — b^^

ou x = ^aztV' ia^-'b'^.

Prenons pour exemple général x^ =:px + q. La valeur de x sera ,

jc = -^ rb y-^ + q^ oïl Ton voit que -^ et q ont les mêmes

signes que dans la première équation , mais -^ doit toujours être affecté du signe +. Cet exemple est une formule à laquelle on peut rapporter toutes les équations du second degré. Par exemple, qu'on propose réquation y^ = -^-7^ + x* , et qu'on demande la racine v ;

il faut égaler -^^ k p y et x^ k q. Par conséquent -^ = -^ , et

-îl+x^ = -f-+^, et on aura j. = -f-± ]/ -^ + x\ De

même dans Téquation y^ =zay — ^cy + a^ — c* , faites a — ic s=/?, et a^ — c* = ^, et la valeur de y sera , y:=^a — c zb • .

(*) I^^S^ 4^ ^^ suivantes.

78 DELARÉDUCTION

Y -l^î^ ac. Il y a plus ; c'est qu'on peut même, par cette règle,

obtenir la valeur de x dans réquation du quatrième degré x^-=. — a^x^ -^ay^ y oii les termes impairs manquent; car on aura d'abord,

par la règle que nous venons d'établir, jc^ = fl 4. J/^ — +at\

et en tirant de nouveau la racine quarrée , x =

r ^ ^ y ~ — y-ab^ ; et ainsi du reste.

Telles sont les règles pour réduire une équation unique. Lorsqu'on se sera familiarisé assez avec leur usage pour pouvoir ordonner une équation quelconque par rapport aiLx dimensions d'une de ses lettres^ et tirer la valeur de cette lettre, dans le cas oîi elle n'a qu'une dimension , ou bien la valeur de sa plus haute puissance , lorsqu'elle en a plusieurs, il sera facile de comparer entre elles plusieurs équations; et c'est de cette comparaison que je vais enseigner la méthode.

Méthode pour réduire deux ou un plus grand nombre d* Équations a une seule , afin d^en dégager les inconnues.

Lorsque dans la solution d'un problême on a plusieurs équations qui renferment l'état de la question , et dont chacune contient plusieurs inconnues , il faut comparer deux à deux ces équations ( si on en a plus de deux ) , et répéter ces comparaisons autant de fois qu'il est nécessaire, et à chaque opération il naîtra uiîe nouvelle équation , qui contiendra une inconnue de moins que la précédente. Si on a, par exemple , 2 a: =y + 5 , et x^=^y + 2 , il est clair que par la première on a, 2x — 5=2^^, et que par la seconde on a , jt — 2

=^; d'oîi , en retranchant de part et d'autre des quantités égales , on tire ^=^3.

C'est une règle générale, que par le moyen de chaque équation on peut éliminer une inconnue. Donc , lorsqu'on a autant d'équations que d'inconnues, toutes les équations peuvent se réduire à une équation unique qui ne renferme plus qu'une seule inconnue. S'il y avait ime inconnue de plus qu'il n'y a d'équations, il se trouverait encore deux inconnues dans l'équation résultante ; il s'en trouverait trois , si le nombre des inconnues surpassait de deux le nombre des équations , et ainsi de suite.

Il n'est pas quelquefois impossible d'éliminer deux, ou même un plus grand nombre d'inconnues par le, moyen de deux équations. Si on a, par exemple, ax — by = ab — a^^ et bx + ty = b^ + ^ î* La première donne a[^=^ab — ax-^^by^ et la seconde, a[=zbx J^by — b^ ; donc ab — ax + by =zbx + by — i*, d'où on tire, en effaçant ce qui se détruit, et transposant , bx + ax = ab + b^^o\i l'on voit que j' et { sont éliminés. Mais des cas de cette espèce annoncent ou un vice caché dans l'état de la question , ou une erreur, ou un défaut d'adresse dans le calcul. Nous allons enseigner la méthode d'éliminer une inconnue par le moyen de chaque équation.

De l* élimination d'une inconnue par l'égalité de ses valeurs.

Lorsque la quantité qu'on veut éliminer n'est que d'une dimension dans chacune des équations, on en trouvera la valeur par les règles que nous avons déjà données ; et alors on comparera ces valeurs entre elles.

Soient les deux équations a + x=ib+y y et i;i:+j^=3/'. Si

8o DELA RÉDUCTION

c'est y que nous voulons éliminer, la première équation nous donnera, tf + ;c — ^ =^> ^t la seconde, 3 i — %x =y; par conséquent tf + x — i = 3i — iJc,ou,en dégageant ;c , jr = ^ 7'"' , C'est ainsi que les deux équations i;c=j^,-'et 5+r=jr donnent, 2:1? =3 5 +;c,ou x= 5. Et les équations ax — %by=^aby

et xy^r^V- donnent, la première^ '^'Zb''^ =,y> ^ ^^ seconde,

y = — . Donc — =: ''*'^'*^ , ou , en ordonnant , x^ — bx —

Si on a encore les deux équations — * ^'^ ^ =ab + xyj et 6x + -^ = z tf * ; en dégageant x , la première donne x =a '''^.]t^/ * et la seconde, ;c= ^illfll^, on a donc Jîl^±l^ =--!!l:^ ;

et en réduisant ^ y^ T" y* — ( ^^'^J" *^ ^J^ + A*c = o.

Enfin si on a, ;if+^ — î = o> et tfj^zsA:^; en dégageant {, la première devient x +y=:i^ et la seconde , -^^ = i. Donc -^ = ^+y> ou bien ;c^+;c^ = tf^, en multipliant tout par x. On arrive aux mêmes résultats en soustrayant une des valeurs de Tinconnue de l'autre, et en égalant le reste à zéro. Ainsi, dans le premier exemple , retranchez 3^ — ix de a + x — by et il viendra a + x — b — 3^ + i4;:^o, ou a+ '^x — 4^=30, et enfin x =3

4^ — tf — :: — •

De

DESÉQUATIONS. 8i

De V élimination d'une inconnue par la substitution de sa

valeur.

Lorsque , dans Tune des équations , l'Inconnue qu'on veut éliminer n'est que d'une dimension, c'est dans cette équation qu'il faut prendre la valeur de l'inconnue , et la substituer à la place de l'inconnue même dans l'autre équation. Si on a les deux équations xy^ == ^S et x^ +y^ =zby — ax^ en éliminant x , la première donnera x = —^ j à la place de x substituez sa valeur dans la

seconde , et vous aurez -^ +y zz by ^ , ou bien — ^^

= — :2^ — ^ — ou bien b^+y^=zty^ —aPy^y et en ordonnant, y6 l,y + ab^y'' + b^ zz o.

Si on a , ay^ + a^y = îS et ^ç — ay=^a[^ et qu'on veuille éliminer y , il faudra prendre sa valeur dans la seconde équation qui donne , y = ^^^ , et en substituant cette valeur à la place

de y dans la première , on à , . l,^^^» + U^ = îS ^^ ^^ réduisant, ^ — 2tf(^ +^'{* — ia\ + à^ z=. 0.

De même, si on a, -^ = ÎJ et cy + {x = c*, et qu'on veuille éliminer j, il faut substituer dans la seconde équation, sa valeur -^^ , ce qui donne, cy + -^^-^ = c*.

Au reste, quand on est exercé dans ces sortes de calculs, on

apperçoit souvent des moyens plus expéditifs de chasser une inconnue. Tome /. L

8i DELARÉDUCTION

Soient données les équations ax = '^j^ et ^ = -j^rr > ^^ °^^' tipliant la première par {, elle devient aixz=,b^{x — *), et en multipliant la seconde d'abord par x , elle devient x^ = /J[^^ , et ensuite par x — 3, elle devient enfin x^ (^x — b)z=.axi; par conséquent M ^ 3 ^ ) ^ ' ' ^^^^ x = 3.

Mais j'abandonne des cas particuliers de cette espèce à la sagacité des hommes studieux.

De l'élimination d'une inconnue qui est de plusieurs dimensions

dans chaque équation.

Lorsque la quantité qu'on veut éliminer est de plus d'une dimension dans chaque équation , déterminez dans chacune la valeur de sa plus haute puissance ; et si les équations ne sont pas de même degrç j multipliez celle qui est la moins élevée par l'inconnue que vous voulez éliminer, ou par son quarré, ou par son cube, afin qu'elle devienne d'une puissance égale à celle de l'autre équation. Alors égalez entre elles ces plus hautes puissances, et il en résultera une nouvelle équation , oîi cette plus haute puissance ne se trouvera plus» Et en réitérant l'opération autant de fois qu'il sera nécessaire , vous finirez par faire évanouir cette inconnue.

Par exemple, si on avait :t:* + 5 ;v = y^y^ , et i:r^=3A:* + 45

je tire de la première de ces deux équations, x^^zi^y"^ — 5^, et

de la seconde, •— -^ ^ ^ z=.x^\ et en comparant ensemble les deux

valeiu-s de :t% j'ai, 3^^*— çx = -2iL?^-'^ , où x ne se trouve plus

qu'à la première puissance; ainsi on peut l'éliminer par les règles

données plus haut. En effet , en réduisant la dernière équation , elle devient ^y^ — 15^:= ir^ — 4. D'où, x =3 ' \^^^^ ; et en mettant cette valeur de x dans Tune quelconque des deux équations proposées , dans X* + 5 a; = 3J^* , par exemple, il viendra

8iy* + 7i^H-i6 ^ 45j^- + 2o =3^^; et en multipliant tout par

4 j^* + 6oy + 115 , et ordonnant , il vient , 8 1 ^''^ + 71 ^* + 16 + 90^' + 40^ + 675 j^* + 300 =2 iiy* + i8oj^' + 675 j^* , ou bien (>^y^ — 90>' 4- J^y'' + 40^ +316=0.

Qu'on ait encore les deux équations, y^ = xy^ + 3 ^ Qt y^ :=. x^ — xy — 3. Si c'est y qu'on veut faire évanouir, il fout multiplier la seconde par y , et elle devient y^ = x^y — xy^ — 3^^, qui est du même nombre de dimensions que la première; et en égalant entre elles les valeurs de ^' , on a xy^ + 3 :r =3 x^y — xy^ — 3 j^, où y est descendu d'une dimension. Par le moyen de cette nouvelle équation , et de la plus simple des deux premières , de ^* = ;c* — xy — 3 , par exemple , on peut éliminer j' , en répétant l'opération que nous venons de faire.

On a encore d'autres moyens de parvenir aux mêmes résultats ,

et souvent d'une manière plus courte. Veut-on faire disparaître y

des équations j^* = ^*^^ 4- ;if*, et j^* = ixy + -^ ? qu'on prenne dans chaque équation la valeur de y^ par la méthode de la règle 7

( page 77 ) et on aura j^ = -f- dz l/-^- + ^' et j^ = ^

y x^+ -^ , et en comparant ces deux valeurs de y , on a . . . .

-^ifc y—'i/x'^ =îx± K*M--^, et en effaçant de part

84 DELARÉDUCTION

et d'autre ce qui se détruit , on obtient enfin ~ =x ^ ou bien at* = ax et x=a.

Pour faire disparaître x des équations, x+y.+ ^ =20, et at* ^y -I- jL =3 140, retranchez y de chaque membre de la première,

et il restera x + -Ç- = 10 — y^ et en quarrant , x^ + xy^ + -2l =2 400 — 40 j^ + j^^ , et en effaçant j^^ de part et d*autre, il restera x^ +y^ + -^ = 400 — 40^. Or 400 — 4oy et 140 étant égales aux mêmes quantités, il s'en suit qu'elles sont égales entre elles; donc 400 — 40^^=140, ou 40j^ = i6o, ou enfin y =3 6 x- Cest ainsi que dans presque toutes les équations on trouvera des moyens d'abréger le travail.

Au reste, lorsque la quantité qu'il faut éliminer a beaucoup de dimensions , le calcul qu'on est obligé de faire pour y parvenir, est quelquefois très - pénible. Les exemples suivans , considérés comme des règles , pourront donner des moyens de le faciliter.