RÈGLE QUATRIÈME

Soient , ax' + bx^ + ca: + </ = o, et fx* +g«* + Ax + A: =5 o.

En éliminant x, on a

{ah — bg— icf) ( â</A* — dc Ait ) + ( a jt + iA — cg — id/)bd/h + ( — ak + bh + xcg+ 3 d/) d'k^ + Çcdh — <i*^— - c^A + ïbdk )

— hh + cgm- df) bcfk +(^bk—idg)b'/k+(^ — y-k-^ adh

— cdf) agk =t o.

Par exemple , si on veut faire disparaître * des équations *" +

86 DELARÉDUCTION

5 ^ — 3 J^^ = o,et 3^* — zrj^ + 4 = o; qu'on emploie la formule de la première règle, et qu'on mette, au lieu de ^,^>^;/,g, A, leurs valeurs respectives i, 5, — ^y^; 3, — ly, 4: et on aura ( 4 + 10 y 4- iSy"- ) 4 + ( io - 6y ) 15 + ( 4 j.^ - 27/ ) X- 3^ = G, qui se réduit à, 16 +4oy+jiy^+ 300 — ^oy^ + 69^'*= o, équation oii il n*y a- plus d'^:.

De même, pour foire disparaître^ des équations y^ — xy* — 3:1: e= o , et y^ + xy — a:* + 3 = o , employez la formule de la seconde règle, en mettant pour tf, A, c, ^;/, g, A, jc, les valeurs respectives I , — x^ o, — 3 ;r; i , ;r, — ^^ + i 9 y » et vous aurez

+ 3Ar^X^* + (-3^' + 9^-3 X -Jc') X - 3^ = 0; et en effaçant ce qui se détniit , et faisant les multiplications indiquées , il viendra, 3 a;'* — 18 jc* + ij + x^ — 9^* + 3^^+ il**— i8x*x=:o, et en réduisant et ordonnant, x^ + iSx^ — 45;r* + 27 = o.

Jusqu'ici nous n'avons eu à éliminer qu'une seule inconnue au moyen de deux équations ; si on avait plusieurs inconnues à chasser d'un plus grand nombre d'équations , on y parviendrait par des opérations successives. Par exemple, si vous voulez tirer la valeur de y des équations, ax =^î, x +y=^, et 5 a: =sy + 3 {»' commencez par faire évanouir une des deux inconnues :r ou ç; jc (je

* suppose ) en substituant sa valeiu: -^^- tirée de la première , dans

la seconde et la troisième , ce qui vous donnera , -^^ 4. j^ =3 ^ , et

-îj^ = ^ + 3 ;f . Faites disparaître { de ces deux équations , comme ci-dessus , et vous n'aurez plus qu'une seule équation qui ne contiendra que la seule inconnue y.

Méthode d* éliminer toutes les quantités sourdes des équations.

C'est ici qu'il convient de placer la méthode d^éliminér les quantités sourdes ou incommensurables ^ en les supposant égales à des lettres quelconques. Par exemple , si on a Téquation y^ ay -^

Va}- — ay = ia+ yay^; en disant r= \^ ay^ v = )/ a^ — ay^

et ^= yay^y réquation proposée devient, r — v=iia+x. Mais

d'ailleurs, puisque x = yay^ , il s'en suit que x^ = ay^; et par la même raison , t^ =ay ; et v* = a* — ay. Si , au moyen de ces quatre équations, on élimine successivement r, v et a:, il en résultera une nouvelle équation entièrement délivrée d'incommensurables. (14).

S8 DELARÉ SOLUTION

Méthode pour mettre une question en équation.

I à o R s Q u' o N se sera suffisamment exercé à transformer et à réduire des équations , il faut essayer ses forces , en mettant des questions en équation. Une question étant proposée, une partie importante de Part du calculateur consiste à exprimer par des équations chacune des conditions du problême. Pour y parvenir, il examinera d'abord si toutes ces conditions peuvent être exprimées par des caractères algébriques , de la même manière que nous peignons -nos pensées par le moyen des lettres de Talphabet. Si la chose est possible ( comme elle l'est toujours, lorsque la question roule sur des nombres ou sur des quantités abstraites), alors il donnera des noms aux quantités connues , de même qu'aux quantités inconnues ; et le sens de la question sera exprimé , si on peut parler ainsi , par un discours analytique. Et les conditions ainsi traduites en langage algébrique , donneront autant d'équations qu'il en faut pour résoudre la question.

Par exemple, qu'on demande trois nombres en proportion continue, dont la somme soit lo, et la somme des quarrés 140, j'appellerai ces trois nombres inconnus -v, j, [; et la question sera traduite du langage ordinaire en langage algébrique, en cette manière :

Question

Qucsàott énoncée en langage ordinaire^

On cherche trois nombres qui adent ces conditions :

I®. Qu'ils soient en proportion continue.

2^. Que leur somme fasse 10.

3^« Que la somme de leurs quarrés fasse 140.

La même en langage algébrique.

X • y îî J' t î, ou bien

* + J' + î =« io.

Ainsi la question est réduite aux équations x { =^^ , x + j^+ { =s 10, «* + >'* + {*= 140. A l'aide de ces équations et des règles données précédemment , on trouvera les valeurs de :if , de j^ et de {.

Ai; reste , il feut observer que la résolution des problêmes tst d'autant plus facile et plus élégante , qu'on emploie moins d'inconnues. Ainsi dans le problême dont il s'agit , en mettant x pour la première

inconnue, y pour la seconde , la troisième sera •^, qui est en proportion continue avec les deux autres. J'énonce donc la question en cette manière :

En langage ordinaire.

Chercher trois nombres en proportion continue,

dont la somme soit 10, et la somme des quarrés 140.

En langage algébrique

X +y + ^^= xo.

Les deux équations 'jc + j^ + -^ = 10, et o:^ + j^* + -^ = 140

étant réduites , on en tirera les valeurs de x et de y.