PROBLÊME V

Deux messagers A et B sont éloignes Vun de t autre de ^^ milles ; ils partent le matin pour aller à leur rencontre mutuelle* A fait 7 milks en deux heures ^ et B en fait 8 en trois heures , mais A est parti uru heure avant B. , On demande combien A fera de milles avant de rerKontrer B*

Appelez ce nombre de milles x. Alors 59 — x sera le chemin qu'aura fait B. Et comme A fait 7 milles en deux heures , il fera x de milles en -^ d'heures ; ce qu'on trouve en faisant cette proportion, 7 milles : 2 heures :: x milles : — heures. De même, comme B fait 8 milles en 3 heures, il fera 59 — x milles en *^^'J?* d'heures. Maintenant , comme la différence de ces temps est i heure , ils deviendront égaux, en ajoutant i au plus petit, c'est-à-dire à '^"^ ^ ^ "" ; - et on aura l'équation i + '^^J^"" = -2JL . Et en réduisant , on trouve x = 3 5 . En effet , si on multiplie l'équation I + .I2I=JJL = J^ par 8, elle devient, 8 + 177 — 3 jc = Ji^,

OU 185 — 3 -^ = -— , et en multipliant de nouveau tout par 7 , on a enfin, 1295 - 21 :r =z i6jc, ou, 1295 = 37 j:; et en divisant par 37, on a, jc: = 35. Ainsi A fera 35 milles avant de rencontrer B.

,.ji

Le même problême d'une manière plus générale.

On donne Us vitesses de deux mobiles A et B ; on donne aussi la differcnu des temps et des lieux de départ; on demande de déterminer le Ceu où ils se rencontreront*

Supposez que la vitesse de A soit telle , qu'il parcoure l'espace c pendant le temps /; et celle, du mobile B telle, qu'il parcoure l'espace d dans le temps g; supposez encore que la différence des points de départ soit e , et la différence des instans de départ h*

Premier cas.

Si les deux mobiles vont dans le même sens , et que A poursuive £, le chemin de A sera égal à celui de B^ plus à l'intervalle qui séparait les deux mobiles au commencement du mouvement : appelez X le chemin de A; retranchez « de jc, et le reste x — e sera le chemin de B. Et comme A parcourt l'espace c dans le temps /, on trouvera le temps qu'il emploie pour parcourir x par cette proportion, l'espace c : au temps / :; l'espace x : au temps -^. Et comme B parcourt l'espace d dans le temps g^ il parcourra l'espace

X — e dans le temps ^^"J^^ . Et comme on suppose la diflPérence des temps égale à A, il suffira d'ajouter h au plus petit pour les rendre égaux ; par exemple à -^ si c 'est B qui a commencé à se mouvoir le premier, et on aura l'équation ~ -f- A = ^"^^^ i

et en réduisant il vient , ^V'^'^f} = x. Si au contraire c'est A qui est entré le premier en flu)uvementy alors il faut ajouter h à ^'T^^ >

et on aura -^ = A + - ^^T^^ - y et en réduisant , il vient x =»• .

cge ^^ c dh cg-df •

Second cas.

Si les deux mobiles vont à la rencontre Tun de l'autre, et qu'on suppose, comme auparavant, que la distance initiale de ^, au point de rencontre , soit ;r , la distance * initiale de ^ , au même point

sera , e — x ; le temps employé par A , pour parcourir l'espace x , sera •^ > et ^^"T^^ sera le temps employé par le mobile B , pour parcourir l'espace c — x. Au plus petit de ces deux temps ajoutez , comme ci-dessus, la différence A, c'est-à-Are à —- si c'est B qui

a commencé le premier à se mouvoir , et vous aurez -^ + A =3

^"J^^ - y et en réduisant , x = ^^^T^t^ i mais si c'est A qui est

entré le premier en mouvement , ajoutez h au temps ^^"J^^ ,

et votre équation sera , -^ =3 A +

fi^'-g»

^ et en réduisant, x

cge -f- edh ^g + df •

Exemple I*'. Si chaque joiur le soleil parcourt un degré, et la lune 1 3 ; qu'à une certaine époque , le soleil se trouve au commencement du cancer, et trois jours après, la lune au commencement du bélier, on demande oh se fera leur première conjonction? Rép. à 1 0^*45' du cancer. En effet, les deux corps marchent dans le même sens ; mais comme le mouvement de la lune ne se compte qu'après que le soleil a déjà marché trois jours , qu'elle est aussi plus loin du point d'arrivée que le soleil , il faut la désigner par ^,

et

et le soleil le sera par B , et ""^^^^y. sera la longueur du chemin

que fera la lune. Et si on substitue dans la formule, 13 au lieu

de c; 1 au lieu de/, d et g; 90 au lieu de c; et 3 au lieu de A,

elle deviendra '? " [^J^ t \\\' " ? = ^ = 100 1. Comptez donc

ces cent degrés trois quarts depuis le commencement du bélier, et

vous arriverez à 10** |, ou 10** 45' du cancer.

Exemple IL Si deux messagers, A ^t Bj éloignés Tun de Tautre de 59 milles, partent le matin pour aller à leur rencontre mutuelle; que A fasse 7 milles en deux heures, et 5, 8 milles en trois heures ; que B se mette en route une heure -plus tard que A , on demande le chemin, que fera A avant de rencontrer B? Rép. 3 5 milles. En effet , puisqu'ils vont à la rencontre Tun de l'autre , et que c'est A qui s'est mis le premier en route , ce sera la formule

/ . ^^j^^^* - qui désignera le chemin qu'aura feit A avant de rencontrer B. Et si on substitue dans cette formule 7 pour c, 1 pour/, 8 pour d^ 3 pour g, 59 pour e, et i pour A, elle deviendra...

PROBLÊMEVL

Étant donnée la puissance d*un agent quelconque , trouver combien il faudrait dépens de cette espèce pour produire ^ dans un temps dormi b^ un effet demande a.

Soit la puissance de cet agent telle , que dans un temps donné d^ elle produise un effet c, il faut chercher combien cette même puissance produira d'effet dans le temps b; ce qu'on trouvera par cette proportion d\ c \\ b \ -^, Voilà l'effet d'un seul agent pendant Tomt /. N

98 DELARÉSOLUTION

le temps i. Pour trouver combien il faut d'agens de cette espèce pour produire l'effet demandé a , faites cette proportion ..••.;•..

r • ï II a l -yT" ^ q^î signifie , en langage ordinaire , —

( Teffet d'un agent unique ) est à i ( cet agent unique ) comme a

( l'effet de tous les agens ) est à -^ ( tous ces agens )•

Exemple. Si un écrivain peut, en 8 jours, écrire 15 feuilles ^ combien faudra -t -il d'écrivains pour en écrire 405 en 9 jours? Rép. 14. Car si on met 8 à la place de ^, 15 au lieu de c, 405 au lieu de ^ , et 9 au lieu de * , le nombre d'écrivains -j— deviendra

-^^'^^, c'est-à-dire -2^^ ou 24.