PROBLÊME XII
Etant données les grandeurs ce Us quantités respectives de mouvemeni de deux corps spherïques qui se meuvent sur la même figne droite et se choqumt ; déterminer leurs quantités respectives de mouvement apris U choc.
La résolution de ce problême dépend des deux propositions suivantes: 1°. C'est que chaque corps éprouve une réaction égale à l'action qu'il a eue sur l'autre, i**. C'est que la vitesse relative pour s'éloigner après le choc , est égale à celle qu'ils avaient avant , pour s'approcher. Cela posé , soient les deux corps ji et B^ et leurs vitesses respectives a et b ; leurs quantités de mouvement seront a A et hB (parce que la quantité de mouvement d'un corps est égale au produit de sa masse par sa vitesse )• Supposons que les^ deux corps marchent du même côté , mais que la vitesse de A soit la plus considérable , et qu'il tende par conséquent à atteindre B ; supposons de plus , que x soit la quantité de mouvement que a A perdra^, par le choc, par conséquent x sera aussi la quantité de mouvement qu'aura gagnée b B. Ainsi , après la réflexion , les quantités respectives de mouvement seront, aA — x et bB + x; et les
vitesses seront, —p- ^^ et ^^ ^* - (*). Or la difFérence des vitesses
(*) Newton vient de dire plus haut, que la quantité de mouvement d*un corps était égale au produit de sa masse par sa vitesse. Donc , si on divise ce produit par ia masse , le quotient sera la vitesse. Oi ^aA — x est la quantité de mouvement de A
après la réflexion ; donc -^ sera sa vitesse après la réflexion : de même
h B -4- M bB -{- X est la quantité de mouvement de B après le choc ; donc j^
sera la vitesse de B après le choc.
après le choc doit être égale à ^ — b^ difFérence des vitesses avant le choc. Nous aurons donc , ^ - ^ ^ "" — ( ""^^ * ^z^a — b. Et
en réduisant, on a, a;= ^^ a Xl * ^^ ^^ substituant cette
valeur de x dans l'expression des vitesses ""^^ * et -^^-i'-^ j la vitesse de -rf devient , après le choc , fAjr^fj:hlil. ^ et celle de
^^ '^ — J j £^^^ ' ^* ^^ d^u^ mobiles allaient en sens directement opposés , il faudrait changer par-tout le signe de b ; et les vitesses respectives de A et de -S, après la réflexion , seraient
j-ttb — :~ ^ ^^ a ITb ^^ ^ ""^ ^" "autre de ces
vitesses est négative , c'est une preuve que le mobile auquel elle appartient est poussé dans une direction contraire à celle qu'avait A avant le choc. On doit entendre la même chose du mouvement de A dans le cas précédent.
Exemple. Soient deux mobiles de matière homogène qui aient , le premier ^ , 3 livres de masse , et 8 degrés de vitesse ; le second B , 9 livres de masse , et x degrés de vitesse , et supposons que ces deux corps marchent dans le même sens. Alors à la place de A, a y B^ b^ substituez respectivement dans les formules les nombres, 3, 8 , 9 , 2, et
AA^dBA^xhB ■, . ^ . 2a a — * A-X^h B ^ a . .
T+T d^v^^'^^ = — I , et ;j^pfC =.5. Ainsi ,
après la réflexion, A retournera en sens contraire avec un degré de
vitesse, et B continuera son mouvement dans sa première direction
avec 5 degrés de vitesse.
io8 DELA RÉSOLVTION
