PROBLÊME XII L

Trouver trois nombres en proportion coruimu^ dont la somme sole lo, cp dont la somme des quarris soit ij^o.

Soit le premier de ces nombres at, et le second j', le troisième

sera -^ . On aura donc x ^y -{- -^ = 20. Et x^ +J^* +-^= 140.

Et en réduisant, la première équation devient, x^ + (^y — 10) x + y^ = o. Et la seconde x^ + (y^ — 140 ) x^ +^4 = o. Pour faire disparaître x de ces deux équations , employez la méthode de la règle troisième sur l'élimination , et substituez dans la formule à la place des lettres ^ , ^, c , ^, e, /, g^ et A, leurs valeurs respectives i ,

o, j^*— 140, o, y^; I, j^— 10, et y'^ y il viendra

(—y + 180) X y + ( ij^^ — Aoy + 260) X (léoy^ — 4oy) + 3^ X^ — ^y^ (<y^ — 40^ + 400 j^*)'= o, et en faisant les multiplications indiquées, on a, 1 600 y- 10800 j^^ - 67600 j^^^œ o, qui se réduit à, j^y^ — 52^ + 169 = 0, ou bien, en résolvant, ^y — i3£=o, ou bien ^ = 6^. C'est le même nombre que nous avons trouvé ci -devant, par une méthode beaucoup plus courte, mais moins directe. Enfin poiu: trouver a;, substituez 6 \ au lieu de y dans Téquation x^ '\- (^y — 10) a: +j^* = o, et vous aurez , x* — 1 3 ^ ■«■ + 42 ^ = o , il en résultera cette équation

Jt = 6 ^ ± ^ 'i Tz* Cest-à-dire , que 6 | + V^ 3 7^ est le plus grand

des trois nombres cherchés, et que 6\ — k 3 -j^ en est le plus petit; car X peut être indifféremment Tun ou l'autre des extrêmes de la proportion : de-là il résulte pour x deux valeurs ; et lorsqu'une de ces

valeurs est le premier extrême , — est le second , et réciproquement.

DES QUESTIONS ARITHMÉTIQUES. 109 Le même problème ctune autre manière.

Nous supposerons, comme auparavant, que les nombres cherchés Sont x^ y et -^. Par conséquent on aura , x+j^ + -^ cra lo , ou bien x^ + (^y — 2o);»:+^* = o, et en résolvant cette équation on trouve, jf = lo i. =fc V loo — loy — \y^. Si nous retranchons j^, et la valeur que nous venons de trouver pour x^ du nombre lo , la différence sera la valeur du troisième terme — . Nous aurons

donc ^ = 10 — Tj^qp V^ 100 — 10 y — \y^. Faisons maintenant les quarrés de ces trois nombres , leur somme doit être égale à 1 40. Nous aurons donc (^10 f" — V^ 100 - 10 y -\ y^ J + j'* +

(10 — '^yzpV 100 — loy — \y^ ) = 140 : quantité qui se réduit, toutes opérations faites , à 400 — 40 j^ = 140, ou bien à j' = 6 ^ , comme nous l'avons trouvé auparavant. Substituons cette valeur de yj dans Téquation qui donne la valeur de x^ et le premier nombre sera, 6\ + V'^ y^, et le dernier 6 ^ — ^3 r? comme ci-devant.