PROBLÊME XV

Trouver quatre nombres en proportion contlruiCy dont la somme soit Mj ee la somme des quarrés b.

Quoique notre coutume ait été jusqu'ici de chercher, de la manière la plus directe , les quantités inconnues, cependant lorsqu'il se trouve deux de ces quantités tellement équivoques, que les mêmes conditions puissent leur convenir (comme sont ici les deux extrêmes ou les deux moyens de notre proportion continue), dans ce cas, il ne faut chercher ni Tune ni Tautre; il en faut chercher une nouvelle qui puisse servir à les déterminer également, comme serait, par exemple, ou leur somme, ou leur différence , ou leur produit. Supposons donc que la somme de nos moyens soit 5, et que leur produit soit r, il est évident que la somme des extrêmes est a — 5 , et que leur produit est aussi r, le même que celui des moyens. Cest maintenant de ces quantités qu'il faut tirer les quatre termes de notre proportion. Soit donc X le premier et y le second, alors s — y sera le troisième, et a — s — X le quatrième. Le produit des moyens sera s y — y^ :iz r.

Par conséquent la valeur du premier moyen j^ sera, j^ = ^ 5 -f V/ ^ 5* - r.

DES QUESTIONS ARITHMÉTIQUES. m

et celle du second moyen sera,* -^=2^ s - V^^^^-n Enfin le produit des extrêmes est,tf;r-iA:-**=r. On voit par-là , que la valeur du pre-

mier extrême est,^=.l^ + j/Z^ip+^rrr,. celle du second extrême est, a — i — a: = -^^^± — [/ŒEHISZ.

La somme des quarrés de ces quatre nombres €st , 2 i* — i <i i •+. tf* — 4 r qui est égale à b. En tirant de cette équation la valeur de r, on a, r = ^ 5* — 1 tf 5 + 1 a* — i i; et en mettant à la place de r sa valeur dans nos quatre équations , voici celles qui nous viendront pour nos nombres.

Les deux moyens /

Les deux extrêmes

n nous reste maintenant à déterminer la valeur de 5. Afin d'y parvenir, faisons pour abréger, V ^b — ^5^ + 145 — ^ tf*=3^, et V \ b — ^1* = ^', de sorte que Texpression des moyens sera 7^ +/^,

et 7 i -/>. L'expression des extrêmes sera ^^' + ? > et -^^^ q^

Faisons usage actuellement des deux conditions renfermées dans Ténoncé du problême : la première est, que le produit du second et du quatrième termes est égal au quarré du troisième; et la seconde, que le produit du premier et du troisième est égal au quarré du second. La première eombtion aous donne, ^/ 7 ** î î ^ + f^'^^ L — /^ î =»

1 5* — ps+p^ ; et la seconde condition donne , ^'"^^ + t î ^ - / LmUL^ ^pq=:^ s^ + ps+p"-. Retranchant la première de ces équations de la seconde, il restera qs — pa + ps=sips^ ou bien qs:=.pa+ps. Remettons maintenant, au lieu de /? , sa valeur, . • .

y/" ±b — \s^ +^ as — ifl% et à la place de ^ , sa valeur

\/^b — ^5% ce qui nous donnera , s / i * — ^ ? ^* = ( <» + ^ ) ^ ^b — ^s^ + {as — \ a^. Et en quarrant chaque membre

La quantité 5 une fois déterminée , toutes les autres se déduisent des équations trouvées ci-dessus.