Tome

De la manière de mettre les questions de Géométrie en

équation.

XL est quelquefois aussi aisé de mettre en équation une question de géométrie qu'une question purement numérique. Au reste les règles sont les mêmes dans Tun et l'autre cas. Par exemple {PLI y Fig* 5. ) s'il s'agit de couper en C une droite AB tn moyenne et extrême raison , c'est-à-dire de la partager de manière que le quarré BE de la plus grande partie soit égal au rectangle BD de la ligne totale par la plus petite ; faites A B =z a ^ et BCznx^ AC égalera ^ — ■* > et ^* z= tf ( tf — • AT ), Et en résolvant cette équation , il vient x = — La+ V ^ a\

Mais les positions des lignes, leurs rapports, compliquent le plu* souvent les questions de géométrie à un point , qu'on a besoin de méthodes et d'artifices particuliers pour les ramener à la forme de simples quantités algébriques. Et quoiqu'il soit fort difficile de donner des préceptes généraux dans une semblable matière , où chacun doit compter principalement sur son adresse, je tâcherai pourtant dmdiquer la route aux commençans. Il faut donc savoir que les même» lignes pouvant être comparées entre elles sous différens rapports, il en peut naître autant de questions différentes, selon que Toa prendra tantôt les unes, tantôt les autres pour inconnues, et qu'on cherchera la valeur de ces inconnues par le moyen de celles qu'on aura regardées comme connues. Au reste, quelles que soient, dans

^~ de;s questions géométriques. 115

chaque question, les connues et les inconnues, la résolution s'achève toujours par les mêmes moyens analytiques qui servent à résoudre des questions purement numériques; la seule différence, c'est que les lettres qui, dans les questions algébriques, désignent des quantités abstraites , représentent ici des lignes connues ou inconnues.

(P/. I, Fig. 6.) Par exemple, s'il s'agit du triangle isocèle CBD inscrit dans un cercle, et qu'on veuille comparer ses côtés BC et BD^ et sa base CD avec le diamètre du cercle AB^là question pourrait être de chercher le diamètre par le moyen des côtés et de la base, ou bien de chercher la base par le moyen des côtés et du diamètre , ou bien enfin , de chercher les côtés par le moyen de la base et du diamètre. Mais quelle que soit celle de toutes ces questions que l'on veuille choisir , on la mettra en équation par les mêmes méthodes analytiques.

Si c'est le diamètre que Ton cherche, on fait AB = x^ CD:=ia^ et BC ou BD '=^h. Alors si on mène la corde ACy on aura , à cause des triangles semblables jiBC et CBEy AB \ BC:: BC:

BE y Oii en mettant les valeurs analytiques, x : b :i b : BE==: — . D'un autre côté, C£ = -^, et dans le triangle CEB^ à cause de Fangle droit , on a, C£ + BE = Fc^ ou bien \ a^+ ^=zb''^

équation qu'il est facile de résoudre , et qui nous donnera la valeur de X. (18).

Si c'est la base que l'on cherche, alors il faut faire AB^=sic^ CD=:xj et BC ou BD:=ib^ et tirant AC^ on a, à cause des triangles semblables, ABC et CBE^ AB : BC :: BC : BEy ou

c:b :: b: BE;=:^. D'un autre côté, C£ = iCZ? = -f. Et à

ii6 DELA RÉSOLUTION

cause dû triangle rectangle CEB^ on a CE + BEssiBC^ ou bien -îl- + -^ s= ^* , équation qui , étant résolue , nous donnera la valeur de ;r. (19).

Si on cherche le côté jffC ou 52), il faut faire AB=iCy CD =3tf , et 5C ou BD-=^ x, et tirer AC. À cause des triangles semblables ABC^ CBEy on a, AB \ BC \\ BC \ BE^ ou bien c : x :: X : BE. Ainsi BE — -^. Et comme CE=.^ CD=2^a^ et

que le triangle rectangle CEB donne C£+-jB£ = 5C, il s'en suit qu'on a , ^ a^ + -^ = ^*5 équation qui , étant résolue, nous donnera la valeur de x. (^-o).

Vous voyez donc que dans chaque cas le calcul par lequel on parvient à l'équation est en tout semblable ; que Téquation qu'il produit est toujours la même , avec la seule différence que la même ligne est désignée tantôt par une lettre , tantôt par une autre , selon qu'elle est considérée comme connue, ou comme inconnue. Il est vrai que , selon qu'on prendra la même ligne pour connue ou poiu: inconnue , il naîtra une différence dans la manière de réduire réquation. En effet, l'équation i^^H = ^* donne, par réduc-

tion , X = ,^ , valeur de AB; l'équation jx^ + — p esst* donne x = -^ V c^ — ** , valeur de CD ^ et l'équation.'

^a^ + ^ ^x^ donne y= \/ i c^ db y^ ^^^'^ , valeur de £C ou de £Z?; et pour chacuae de ces équations on est parvenu

à la valeur de x par des voies différentes ( en effet , dans l'équation ^ tf* + -^ =: ** , il est bien évident qu'il faudrait s'y prendre de différentes manières , selon qu'on voudrait dégager ou c , ou ^ , ou ^ ) ; mais toutes ces équations ont été trouvées de la même manière.

De-là vient la maxime des géomètres , qu'il ne faut mettre aucune différence entre les connues et les inconnues. Maxime trèsvraie, puisque si, dans une même question, on regardait successivement chacune des quantités comme l'inconnue , on arriverait toujours à la même équation. (*). Il faut donc considérer toutes les quantités sans aucune différence entre les connues et les inconnues , afin de mieux juger de leurs rapports , et des moyens les plus propres à les calculer ; ou mieux encore , qu'on imagine qu'un problême quelconque ne consiste que dans l'art de classer ses quantités en connues et en inconnues , de manière à arriver le plus facilement possible à l'équation «

Lors donc qiiun probUmc vous est propose ^ compare:^ entre elles toutes Us quantités qu^il renferme ; estime^ comment quelques-unes de us quantités vous étant connues , vous pourrie:^ , par un procède synthétique , parvenir à trouver Us autres. Pour cela , il n'est pas nécessaire de reconnaître du premier coup-d'œil par quelle marche le calcul algébrique conduira de l'une à l'autre , il suffit de sentir en général que les unes peuvent être déduites des autres par un moyen quelconque.

(*) C'est ce que nous venons de voir dans les deux paragraphes précédens.

ii8 DE LA RÉSOLUTION

(P/. I, Fig. 7). Par exemple, si on proposait une question qui eût pour objet le diamètte AD^ ot les trois lignes AB ^ BC et CD inscrites dans un demi-cercle , et que toutes les autres étant données , on cherchât BC; au premier apperçu, on voit que le diamètre AD détermine nécessairement le demi -cercle, et qu'ensuite les lignes AB et CD y par leur inscription, déterminent aussi les points B et C, et par conséquent la ligne BC qu'on cherche, et cela par le moyen le plus direct. Mais on ne découvre pas avec la même facilité, par quel chemin l'analyse conduit des quantités données à la ligne cherchée BC. Ce serait la même chose s'il fallait chercher on ABy ou CD y tout le reste étant donné.

Mais si AB ^ BC et CD étaient donnés, et qu'il Mût chercher le diamètre ^ Z> , on apperçoit à l'instant que le problême n'est pas possible par la synthèse, parce que la distance des points A et D dépend de l'ouverture des angles B et C; que ces angles dépendent du cercle dans lequel les lignes données doivent être inscrites, et que ce cercle n'est point donné , puisque son diamètre est supposé inconnu.

La nature du problême ne permet donc pas de trouver synthétiquement le diamètre AD. Alors il faut le traiter comme s'il était connu , pour remonter aux quantités données.

Lorsque vous aurez bien saisi les différens moyens par lesquels chaque terme d'une question peut être déterminé, alors, parmi toutes les lignes qui doivent entrer dans l'état de cette question , regardez comme connues, celles qui vous présenteront la route la plus Êidle pour arriver à la connaissance des autres , et dont la route inverse serait en même temps la plus difficile. Cest toujours par ces lignes que le calcul doit cçmmencer, quoique dans le cours de l'opération, on

t de r

!e en introduire d'autres. Le moyen le plus court d'arriver au but, mettre, pour un moment, de côté la question qu'on veut résoudre , et de s'imaginer qu'il ne s'agit uniquement que de choisir , parmi toutes les quantités qui doivent entrer dans le problême, celles qui , étant supposées connues , mèneraient plus facilement it la connaissance des autres.

Ainsi, dans l'exemple déjà cité, si c'est le diamètre AD que l'on cherche, il est aisé de voir qu'on ne peut pas le trouver par un moyen synthétique ; maïs on s'apperçoit bien vite , que , si ce diamètre était connu , on arriverait aux autres quantités par la route la plus directe. Je regarde donc  D comme connu , et j'établis mon calcul comme s'il l'était véritablement , et qu'il fut question de trouver quelqu'une d*s lignes données AB, BC, ou CD. Par ce moyen, on obtient les rapports qui existent entre les quantités qu'on traite comme connues et les autres, et on arrive toujours à une équation entre deux valeurs d'une même quantité, soit que l'une des valeurs résulte du nom donné à cette quantité au commencement de l'opération, et que l'autre ait été trouvée par le calcul, soit que toutes deux aient été trouvées par des opérations différentes d'analyse.

Au. reste, le plus difficile n'est pas de concevoir les relations générales des termes d'xme question y mais bien de saisir certaines luisons des lignes entre elles, certains rapports plus propres que es à cire sotunis au calcul. Car il arrive fréquemment, que des

itîons qui paraissent immédiates au premier coup - d'oeil , vous entraînent dans de longs circuits , lorsque vous les traitez analytiquement, et souvent vous forcent à recommencer l'opération par de nouveaux moyens. Il ne faut donc employer que les propositions , ou

énoncés tes plus propres à être exprimés par les calculs de l'Algèbre.

I generi ^^^îson ^Hptri P^Batio

ixo DE LA RÉSOLUTION

Premièrement 3^ le calcul s'opère ou par Taddition des lignes , afin que , de la valeur des partiçs, on obtienne la valeur du tout; ou par ki soustraction, afin que de la valeur du tout et d'une partie, on obtienne la valeur de l'autre partie.

Secondement, le calcul s'opère par la proportion des lignes. Car c'est aussi un principe qui a lieu en Géométrie , que , dans une proportion , si on divise le produit des moyens par un des extrêmes , fe quotient donne l'autre extrême ; ou , cç qui est une suite du même principe , si on a les valeurs de quatre quantités proportionnelles , il y a toujours égalité entre le produit des extrêmçs et celui des qioyens; La .proportion des lignes se tire sur-tout de la similitude des triangles ; et cette similitude se reconnaît à l'égalité des angles. L'analyste doit donc être très-exercé dans l'art de comparer les an^es entre eux ; et pour cela, il. faut qu'il soit bien instruit de toutes les propositions élémentaires qui ont rapport à cette partie.

Troisièmcmei)t , le calcul s'opère par l'addition ou la soustraction des quarrés. C'est-à-dire que, dans les triangles rectangles, on fijoute les quarrcs dets deux petits côtés, ce qui donne le quarré du grand;

OU bien du quarré du gr^nd on retranche le quarri^ d'yn des petits, et le reste est le quarré de l'autre petit.

C'est sur ce petit nombre de principes que repose tout l'art d*ap^ pliquer l'analyse à la géométrie d^s lignes droites ; il sui&ra d'y ajouter quelques propositions puisées dans les élémens, pour les cas où il s'agirait des surfaces et des solides. Bien plus , les problêmes les plus difficiles pourraient être résolus par ces deux théorèmes : la compo* sition des lignes par le moyen de leurs parties , et la similitude des triangles. Ainsi il n'y aurait pas de nécessité d'en employer d'autres « puisque ceux >- ci $jiffisent à tout. Pour çn donner ^ne preuve, j'ai

résolu ^

DES QUESTIONS GÉOMÉTRIQUES. m

résolu, sans le secours de la 47® proposition du premier livre des Élémens (*) , le problême qui consiste à abaisser aine perpendiculaire sur la base d*un triangle obliquangle. Mais quoiqu'il soit infiniment utile de connaître les principes les plus simples d'oîi dépendent les solutions des problêmes, puisqu'avec ces principes il n'en est aucun qu'on ne puisse résoudre ; cependant il est plus expéditif d'employer la 47® proposition du premier livre des Élémens , dont l'usage est presque continuel, et même d'autres théorèmes.

Par exemple, si on abaisse une perpendiculaire sur la base d'un triangle obliquangle, et qu'on veuille faire entrer les segmens de la base dans le calcul , il est bon de savoir que la différence des quarrés des côtés est égale au double produit de la base, par la distance du milieu de la base à la perpendiculaire.

Il sera aussi fort utile , dans ces sortes d'opérations , de savoir , que si on coupe l'angle du sommet d'un triangle en deux parties égales, ^'non seulement la base sera coupée en parties proportionnelles aux côtés, mais encore que l'excès du rectangle des côtés, sur le rectangle des segmens de la base est égal au quarré de la ligne qui partage l'angle.

Lorsqu'il s'agit de figures inscrites dans le cercle, on voit revenir souvent le théorème par lequel on démontre que, dans tout quadrilatère inscrit dans un cercle, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés.

L'analyste doit avoir en réserve ces moyens et d'autres semblables pour les cas de besoin; mais il ne doit en user qu'avec économie, et leur préférer, autant qu'il pourra, des principes plus simples,

(*) Les Élémens qui sont cités dans tout le cours de l'Ouvrage, sont ceux d'Euclide» Tome L Q

121 DELARÉSOLUTION

dussent-ils rendre le calcul un peu plus difficile. En conséquence, il doit graver dans sa mémoire les trois premiers principes que nous avons posés, et s'efforcer de les appliquer à tous les cas , comme étant les plus simples, les plus connus, les plus généraux; qu'il est difficile de les réduire à un plus petit nombre , et que cependant ils suffisent à tout.

Mais, pour que des théorèmes de cette espèce puissent servir à la résolution des problêmes , il est très - souvent nécessaire d'y ajouter des constructions particulières, comme de prolonger certaines lignes jusqu'à ce qu'elles en coupent d'autres ; ce qui détermine leur longueur ; ou de mener , de quelque point remarquable , des lignes parallèles ou perpendiculaires à d'autres ; ou d'unir ces points remarquables; ou enfin de faire toute autre espèce de construction, selon que Texige l'état du problême , et les théorèmes qu'on emploie à sa solution : comme , par exemple , si deux lignes qui ne se rencontrent pas, forment avec une troisième, des angles connus; en les prolongeant, leur rencontre formera un triangle, dont les angles, et par conséquent aussi les rapports des côtés, seront connus. Qu'un "angle nous soit donné, ou qu'il soit égal à un autre, cela nous suffit souvent, en prolongeant quelques lignes, pour en conclure l'espèce du triangle, ou sa similitude avec un autre.

Si le triangle est obliquangle, on le décompose souvent en deux triangles rectangles, en menant une perpendiculaire d'un des angles sur le côté opposé. S'il s'agit de figures qui aient un plus grand nombre de côtés, on les décompose en triangles, en menant des diagonales; et ainsi du reste : feisant en sorte de ramener tout à ces principes simples ; que toute figure peut toujours se décomposer en triangles donnés y ou semblables ^ ou rectangles.

{PL I , Fig. 8 ). Ainsi , dans l'exemple proposé je mène la

diagonale BD^ et le trapèze AS CD se trouve décomposé en deux triangles; Tun, ABD^ rectangle, et l'autre, BCD^ obliquangle. Ensuite je décompose le triangle obliquangle en. deux rectangles , en abaissant une perpendiculaire d'un quelconque de szs angles Jî, C, ou Z?, sur le côté opposé; par exemple, de l'angle B sur le côté CD prolongé jusqu'en £, afin qu'il rencontre îa perpendiculaire jS£. Or, on sait que la somme des angles BAD et BCD est égale à deux droits (*), (par la 21*. prop, du 3^, liv. des Elém.); et que la somme des deux angles BCE et BCD égale aussi deux angles droits, il ne m'est donc pas difficile d'appercevoir que les angles BAD et BCE sont égaux, et que par conséquent les triangles BCE qx B A D sont semblables. Ainsi, en regardant AD^ AB Qt BC comme connues, et DC comme l'inconnue que l'on cherche , voici de quelle manière le calcul peut s'établir. Au moyen des lignes connues AD et AB^ et k cause du triangle rectangle . ABDy il sera facile de tirer la valeur de B D. Et au moyen des deux triangles semblables ABD et BCE^ et de* lignes connues ADj AB^ BD et jBC, on trouvera les lignes BE et CE. Et au moyen des lignes 57? et jB£, et du triangle rectangle BED^ on déterminera £J9, et alors ED — £C, différence de deux lignes connues, nous donne C2?, ligne que nous cherchions. On obtiendra par ce moyen une équation entre la valeur Ae CD trouvée de cette manière , et la lettre par laquelle on l'a désignée. On peut aussi en faire le calcul en employant des principes difFcrens , ce qui donne

d'une même quantité deux valeurs, entre lesquelles on établit une

(*) Remarquez bien que la somme des deux angles opposés d'un quadrilatère ne peut être égale à deux droits , qu'autant que le quadrilatère est inscrit ou inscriptible dans un cercle.

équation. Ainsi AB^ADqiBC nous donnent BD^ BE et CE comme auparavant, ensuite CD + CE donne £Z?, et enfin BD et ED donnent 5£ ( à cause du triangle rectangle BED).

Ainsi en cherchant des valeurs différemment exprimées d'une même quantité, par le moyen de ses relations avec d'autres quantités, on pourra former des équations entre ses valeurs. C'est ainsi que la relation entre les lignes 5Z?, Z?(7, i?C et CE ( relation fondée sur la II*, prop. du i®. liv. des Elém. ) étant exprimée de cette

manière , BD — BC — CD zz i CD X CE , nous pourrons trouver

BD par le moyen de -^2? et de -^5, et CE par le moyen des connues (*) AD ^ AB Qt BC. Alors il n'y a plus dans Téquation

BD — BC -- CD-zz-i CD X CE , que CD et son quarré CD d'inconnu. Mais il sera trcs-facilc d'en avoir la valeur en résolvant réquation. L'analyste , conduit par cette méthode et d'autres semblables , fera marcher de front son calcul et sa figure , et lira dans 6on analyse toute sa construction géométrique.

Je crois que par tout ce qui précède , on doit parfaitement comprendre ce que disent les géomètres : Qu'il faut regarder u que ton cherche comme s*il était trouvé. Ainsi , sans mettre aucune différence entre les quantités connues et les inconnues , vous pouvez prendre celle qu'il vous plaira pour commencer le calcul , comme si tout était déjà connu par une résolution précédente , et qu'il ne fût plus question de résoudre le problème, mais seulement de le vérifier. Cest ainsi que dans la première des trois méthodes de calcul , quoique ce soit peut-être véritablement A D que l'on cherche , on feint cependant que c'est CZ?, comme si on voulait seulement s'assurer

(^) Ou du moins considérées comme telles.

si cette valeur A& CD ^ obtenue par le moyen àc AD^ quadre avec une autre valeur du même CD précédemment trouvée. De même encore dans les deux dernières méthodes de calcul , mon but n'est pas de découvrir une quantité, mais de trouver une équation par le moyen des relations quelconques des lignes. En conséquence regardant AD^ AB^ BC et CD comme des lignes connues, j'agis comme si la question avait déjà été résolue, et qu'il n'y eût plus qu'à examiner si ces quantités satisfont exactement aux conditions du problême, et quadrent avec les équations que leurs rapports nous ont données. C'est ainsi que je commence toujours mon opération, et que je la poursuis jusqu'à ce que je sois arrivé à l'équation ; alors changeant de marche , c'est de l'inconnue seule que je m'occupe dans la réduction et la résolution de cette équation. C'est ainsi enfin que nous employons souvent, comme connues, plus de quantités qu'il n'y en a réellement dans l'état de la question. On pourra voir un exemple remarquable de ce que je viens de dire, dans le 55*^. des problêmes suivans, oii, pour déterminer une section conique, j'ai introduit, comme connues, dans l'équation a^ + bx + ca:*=^% non seulement les lignes tf, * et ^, mais encore les Kgnes r^ s^ r, v, dont le problême, tel qu'il Qst proposé, ne fait aucune mention ; car il est permis d'introduire toute quantité par le moyen de laquelle on peut parvenir à l'équation. On doit seulement observer qu'il fout pouvoir en tirer autant d'équations qu'on a réellement introduit d'inconnues.

Dès qu'on a établi sa méthode de calcul , que la figure contient toutes les lignes qui doivent y entrer ( c'est-à-dire toutes celles qui doivent donner la valeiu- des autres , jusqu'à ce qu'on soit parvenu à l'équation ) , alors il fout leur imposer des noms , en choisissant

celles qui contiennent toutes les conditions du problême ( sans en contenir pourtant plus qu'il n'est besoin ) et qui paraissent plus propres que d'autres à rendre, autant qu'on peut le conjecturer d'avance, la conclusion plus simple. Il faut rarement donner des noms aux quantités qui peuvent se dédidre d'autres quantités déjà nommées. C'est ainsi qu'il suffit de nommer deux côtés d'un triangle rectangle, et deux ou trois termes d'une proportion; parce que le troisième côté du triangle, le troisième ou le quatrième terme de la proportion peuvent se déduire des autres. De même si on a une ligne et trois de ses parties , il suffira de nommer la ligne et deux de ses parties , la troisième pouvant en être déduite. Par exemple , ( P/. I , Fig, 8 ). si j'appelle -^ Z? , :c et AB^ a^ je ne donnerai point de nom à -ff Z? , parce qu'étant le troisième côté d'un triangle

rectangle ABD ^ sa valeur sera V^jc* — a*. Ensuite, dans la même Figure, si je fais BC=b^ comme les deux triangles DAB^ BCE sont semblables, j'ai la proportion AD i AB ;: BC \ CE^ dont les trois premiers termes sont nommés ; ainsi je laisse sans nom le

quatrième , parce que je puis déduire sa valeur -^ de la proportion.

Enfin si on appelle Z?C, c, il ne faut pas donner de nom à 2?£, parce que connaissant chacune de ses parties , CE et CD , la. ligne totale

sera D E =i c + —

Par tout ce que nous venons de dire , on voit que le. problême est déjà presque réduit en équation ; car une fois que Ton a désigné par des lettres les lignes principales , il n'y a plus qu'à tirer d'elles , par la méthode indiquée ci-devant, les valeurs des autres lignes, jusqu'à ce qu'on soit parvenu à l'équation. Et pour ne pas sortir de l'exemple qui nous a toujours occupés , il ne nous reste plus qu'à

DES QUESTIONS GÉOMÉTRIQUES. ixj

trouver une double valeur de BE, par le moyen des deux triangles rectangles BCE et BDE, Cest-à-dire BC—CE^ ou

i^ i-^ =iBE; voilà la première. La seconde sera BI> — DE^

ou x^ — a^ — c^ ^^^ ^jA = BE. Comparant ces deux "^

valeurs de BÉ^ et effaçant de part et d'autre i;r-5 1^ reste

sera i* = jc^ - a* - c* — • Cette équation étant réduite , de-

vient . x' = +P < X + xabc.

Comme j*ai déjà donné , pour résoudre ce problême , plusieurs moyens qui ne diffèrent que très-peu , et que cependant celui qui est fondé sur la ii®. prop. du i*. liv. des Elém. me paraît le plus simple, c'est lui que j'employerai ici. Soit donc ADzzlx^ ABzza^ BC = by et CD = c. Alors BD = x^ — a^, etCE = -^, comme

ci-dessus. Faites entrer ces valeurs dans le théorème BD — BC — CD c= 2 CDx CE^ et vous aurez x* — d* — ** — c^ = -iîiî- , et en

réduisant, x^ =^ + b^ < x + labcy comme auparavant.

Mais pour faire voir combien les solutions d'une question peuvent être variées, et combien il est aisé à un géomètre exercé d'en trouver au moins une, je veux encore en placer ici plusieurs du même problême. Pour cela, je tire la diagonale ^Z7, et si au lieu de mener , comme ci-dessus , la perpendiculaire B E du point B sur le côté DC prolongé, on la mène du point Z? sur jBC, ou du

ii8 DELARÉSOLUTION

point C sur BDy de manière que le triangle BCD soit résolu en deux triangles rectangles , on pourra parvenir , pour chacun de ces cas , à l'équation , et par des moyens très-peu difFérens de ceux que j'ai déjà indiqués; mais il y en a d'autres aussi qui ne laissent pas

de différer beaucoup. Par exemple ( PA I, Flg. 9 ) si on tire les deux diagonales j4C et BD^ en regardant AD et A B comme connues , on en déduira BD; de même qu'on déduirait A C des lignes AD et CD prises comme connues. Ensuite, par le théorème des figurés quadrilatères inscrites dans le cercle, on a l'équation ADx BC+ AB X CD =s ACx BD. Laissant donc aux lignes ADy AB j BÇ^ CD Us nonis x^ a^ b^ Cy que nous leur avons

donnés ci-devant , nous aurons BD =3 V x^ — <^ , et

AC^=^V x"- — c* ( par la 47®. prop. du i*'. liv. des Elém. ) et en

substituant dans Téquation que nous a donnée le théorème les va-

leurs de ces lignes , nous aurons , i:c + a c = V** — «* x ^ x^ — c*, et en quarrant chaque membre , et réduisait , on obtiendra

«' = + iW AT

+ labcp

Au reste , il est très-facile de faire voir que les solutions que nous avons obtenues par le moyen du théorème , pouvaient se tirer de U seule similitude des triangles. En effet, qu'on mène B H perpendiculairement k BCy et qui rencontre -^C en H; alors les triangles BCH et BDA seront semblables, puisqu'ils ont chacun un angle droit en 5, et les angles C et D égaux. Pareillement les triangles BCD et B HA sont aussi semblables, car d'abord les angles inscrits BAC et BDC sont égaux; et ensuite les angles A B H et CBD le sont aussi; car, en retranchant des deux angles droits CBH et

DBA,

DES QUESTIONS GÉOMÉTRIQUES. nq

DBA^^ partie commune HBD^ il est clair que les restes seront égaux. Des deux premiers on tire la proportion, B D i j4 D :: B C : CHj et des deux derniers la proportion ^ BD : CD il j4B : AH. Or AH + HCz:zAC. Et Si oa met dans les deux proportions , à la place des lignes , leurs valeurs analytiques , on trouvera que CH = ^2, et A H sts y ^ , par conséquent CH-^AH

on AC =2 — É==-. Mais d'ailleurs ACzn V x^ — c*. Donc on

aura, -7 7-^ =2 y x^ — c*; et en multipliant tout par V x"- — a^ ^

et quarrant , on arrivera à une équation absolument pareille à celle que

nous avons déjà trouvée plusieurs fois.

Pour montrer encore avec plus d'évidence la multitude de moyeni. qu'il y a de mettre une question en équation , prolongez BCetAD (P/. I, Fig. 10) jusqu'à ce qu'elles se rencontrent en un point J, et vous aurez les triangles semblables ABFet CD F; car ils ont chacun un • angle commun en F, et les angles ABF et CD F sont égaux, comme étant l'un et l'autre supplément du même angle CD A (par la 13* prop. du premier livre et la 21* du troisième livre des Élémens). Maintenant, il est de toute évidence que si, outre les quatre quantités sur lesquelles roule la question , la ligne A F nous était encore donnée, nous trouverions CF par cette proportion, AB : AF :: CD : ÇF; mais A F — AD donne D -F, et la proportion CD : DF :: AB : BFy donne BF^ d'où l'on tirerait l'équation BF — CF = BC. Mais ayant traité comme connues deux quantités iiiiconnues AD et DF ^ il faut encore trouver une nouvelle équation. Pour cela, j'abaisse du point iS sur la base AF hi perpendiculaire Tomt /• R

130 DELARÉSOLUTI 0,N

BGy. ce qui me donne AD : J B :: AB : AG; mais, par

un théorème de la treizième proposition du deuxième livre des

Élémens , j'ai aussi BF'¥ iAFxAG = AB + AF. Nos premières lignes conservant les noms qu'elles avaient ci -devant, tf, i, c, jc, je fais de plus AF=y. Nous avons donc, par la première pro* portion trouvée plus haut , CF = -^^ , et par la seconde

BF = JLllpl . D'oïl il suit que Jii^ — ^ = b, première équation trouvée ; et comme d'un autre côté , ^ (? = -^ , nous aurons, J^yl::i±!^^pJrj^^ + .li^L ^ ^ + y\ seconde équation; et en les réduisant, elles nous donneront enfin l'équation cherchée. Car la première équation donne y = ^ 4*11^ * y cette valeur de y étant substituée dans la seconde , donne après avoir

réduit et ordonné , jt:'=: + ^*/x + itf^c, comme auparavant.

Et si on prolonge A B et CD jusqu'à ce qu'elles se rencontrent, la * solution n'aiffa de différence qu'en ce qu'elle sera peut-être un peu plus fadïe ; ainsi j'aime mieux mettre sous les yeux du lecteur ime nouvelle solution déduite d'un principe tout-à-fàit diiSFérent, par exemple, en cherchant une doitble valeur de la surface du quadrilatère. Je mène d'abord la diagonale B D , afin que le quadrilatère soit décomposé en deux triangles. Ensuite conservant aux lignes les mêmes noms :v, tf, hj c^ qu'elles avaient auparavant, je vois d'abord que

BDzziVlF^^ et par conséquent {axV x^-a^zz'-ABxBD ^ surfice du triangle ABD. Ensuite ayant abaissé B E perpendiailalrement sur CDy on a la proportion AD i B D :: BCi BEy à

laie.

cause des deux triangles semblables ABD et BCE; par conséquent BE=±^Vx^ — a\^tJ^V x' — a^z=^{CDxBE, surface du triangle B CD. Et en ajoutant ces deux surfaces , on aura , *^"*"^^ V x^ — tf*, surface totale du quadrilatère. Et en menant de la même manière, la diagonale AC^ cherchant les sur&ces des deux triangles A CD etABC^et les ajoutant, on aura une nouvelle valeur de la surface du quadrilatère ^*^ \/ x^ — c*. En égalant

ces deux valeurs, et les multipliant par iXy il viendra

(^ax + tc) V x^ ---a^=s(^cx + ai) V x'^ — c*, et en élevant tout au quarré, et divisant par (^ x — c* a:, on arrivera enfin à cette forme

déjà trouvée tant de fois , a:' = + ^* l a: +

+ ^' \ On peut remarquer par tous ces exemples , quelle variété de moyens

on a pour résoudre une question ; mais on doit remarquer en même temps que , parmi tous ces moyens , il en ^x. de bien plus expéditifs que d'autres. Cest par cette raison , que , lorsqu'on a pris une mauvaise route pour arriver à la solution d'un problême , il faut revenir sur s^ pas , et faire de nouvelles tentatives , jusqu'à ce qu'on ait trouvé im chemin plus facile. Car les moyens qui viennent s'offiîr les premiers à la pensée , conduisent souvent à des opérations très-laborieuses lorsqu'on les met en usage. Par exemple , dans le problême dont il s'agit, il eût été tout aussi &cile de trouver le moyen suivant que ceux que nous avons employés jusqu'ici : c'eût été d'abaisser ( P^ I, Fig. 11 ) les perpendiculaires BR et CS sut AD ^ de même que la perpendiculaire CT sut BRy alors la figure serait décomposée en triangles rectangles ; et on voit aisément que AD et

iji DE LA RÉSOLUTION

AB donnent AR; que AD et CD donnent DS; que AD^ ' AR — DS donne R S on TC. En outre, A B et AR donnent BR;CD et DS donnent CS ou TR; et RB^RT donne BT;et BT et TC donnent BC. De tout cela on obtiendrait une équation. Mais si , par cette méthode , quelqu'un tentait la résolution , il verrait , plus que dans aucune des précédentes , les termes algébriques se multiplier, ce qui les rendrait par conséquent plus difficiles à réduire à l'équation finale.

Voilà ce que Ton peut dire sur la résolution des problêmes rectilignes. Il serait peut-être à propos d'observer encore que , lorsque ks angles, ou les positions des lignes données par les angles, entrent dans rétat d'une question , il faut , au lieu des angles , prendre les lignes, ou tels de leurs rapports qui peuvent se déduire de la cotvnaissance des angles , par le moyen du calcul trigonométrique , ou dont la connaissance peut réciproquement faire trouver les angles par le même calcul. On en verra plusieurs exemples dans la suite.

Quant aux lignes courbes , on a coutume de les regarder comme étant engendrées , soit par le mouvement local des lignes droites , soit par des équations indéfinies qui expriment la relation de lignes droites disposées entre elles d'une manière invariable et venant se terminer à la courbe. Les anciens, par la section des solides, sont arrivés au même but , mais cette marche était beaucoup moins facile. Le calcul des courbes décrites par le premier moyen , s'exécute absolument par les mêmes règles que nous avons enseignées ci-devant. Par exemjde , si on a une courbe AKC {PL I, Fig. ii) décrite par le sommet d'un angle droit AKc^j dont un des côtés AK glisse librement sur le point A donné de position, tandis que l'autre côté -K0, d'une longueur donnée, glisse siu: la droite AD aussi donnée die position^;

si on a, dis-je, une telle courbe,. et qu'on veuille trouver un point Cy dans lequel une droite quelconque CD^ d'une position donnée, coupe la courbe , il feudra tirer du point C ( qui est censé trouvé ) les droites A C, CF^ formant un angle droit en C, et qui représentent les deux génératrices , lorsqu'elles ont décrit le point C de la courbe : alors considérant les relations des lignes, sans égard à leur rapport avec la courbe, sans mettre de différence entre ce qui est donné ou ce qui est cherché , j'apperçois sans peine que tout dépend de CF^ et de Tune des quatre lignes BCj BF^ AFy AC. Je prends donc CF=ia (*), CB = x; et partant de -là pour commencer mon

calcul , j'en déduis aussi-tôt BF=\^ d^ — x^; et à cause des deux

angles droits A CF et FBC^ on a la proportion BF : BC il BC:

A B. D'où AB=i ^ ^^ . D'un autre côté, la position de CD

étant donnée, la grandeur de ^Z> est connue. J'appelle donc AD^h^ et comme le rapport de ^C à i9Z7 est connu (je le suppose comme celui de ^ à e), j'ai 5Z?= ^etAB^b — —, d'oii je tire

(*) Newton considère le point C comme s'il était connu ; mais il ne Vést pour* tant pas^ puisque c'est ce point qu'il cherche; donc les lignes AC et CF sont inconnues : pourquoi donc désigne-t-il CF par a F c'est que^ en quelque lieu de la courbe que soit situé le point C « si par ce point et par le pôle ^ , on imagine une droite A C, et une autre droite CF qui lui soit perpendiculaire , cette dernière sera toujours une ligne connue égale à iT 9 ^ puisque , par la nature de 4a courbe ^ ces deux droites représentent la situation de Téquerre dans le moment qu'elle a décrit le point C, et que K ^ ne fait que varier de position, sans varier de longueur.

134 DELARÉSOLUTION

réqiiation t '-j- = ^ ^f ^^ . Et en quarrant chaque membre ,

et multipliant tout par a^ — a:*, on la réduira sous la forme

2*J«r*'T**^ < *■ — 2 tf»irfe * + «•*« <^

x^ = —. sr+iî 9 ^^^^ c'^fi^ ^ par le

moyen des lettres connues a^ b^ d^ c^ tt des règles, qui seront enseignées dans la suite, on déterminera la valeur de x. Cette valeur trouvée, on élèvera x on BC perpendiculairement sur jéD^ de son extrémité on tirera une parallèle k AD^ et le point C oii cette parallèle coupera la courbe , sera le point cherché*

Si, au lieu de descriptions géométriques. Ton donne des équations pour exprimer la nature d'une courbe, alors le calcul en sera d'autant plus facile et plus courte qu'on aura ces équations de moins à trouver. Par exemple , si Ton cherchait le point d'intersection C d'une ellipse donnée ACE (^PLl^ Fîg. 13) avec une ligne droite CD donnée de position; pour désigner Pellipse, )e

prends quelque équation qui lui soit propre, comme rjc- — jr*=:j^*,

oti X est pris indéfiniment pour une partie quelconque de Taxe, telle que j4t ou AB^ et y pour la perpendiculaire bc ou BC terminée à la courbé. C'est l'espèce de l'ellipse qui détermine r et q. Puisque CD est donnée de position, AD sera donnée de longueur. Soit donc ADz=za^ alors BD sera a — x. L'angle ADC est aussi donné, et par conséquent le rapport àe BD k BC que je suppose être :: I : e. Donc on aura aussi y ou BCzsica — cx^ et en quarrant , 5 C (j^*) = ê'a'- — it^ax + âx^ quantité qu'il- feut égaler à r x ^ *^* , et par la réduction , on obtiendra

tf*r

DES QUESTIONS GÉOMÉTRIQUES. 13c

Si l'on a une courbe obtenue par une description géométrique, ou par la section d'un solide , on pourra toujours exprimer sa nature par une équation. C'est donc à ce point unique, c'est-à-dire à trouver leur équation, que l'on doit rapporter toutes les difficultés des problêmes qu'on propose sur les courbes.

C'est ainsi que dans le premier exemple ( PL I , Fig. 11) si on appelle AB ^x^ ctBCy y, la troisième proportionnelle B F sera -^ , et son quarré, ajouté à celui de ^C, donnera celui de CF, c'està-dire -^ +y=»a'^^ ou hien y^ + x^y^^=:a^x^. Telle est l'équation par laquelle, pour chaque longueur déterminée A B de la, base, chaque point C de la courbe AKC est déterminé, et par conséquent la courbe elle-même l'est aussi. Et c'est de cette équation qu'on doit attendre la solution de tous les problêmes qu'on peut proposer sur cette courbe.

Si une courbe n'est pas donnée d'espèce, mais qu'on demande de la déterminer, il faut prendre arbitrairement une équation qu'on supposera exprimer d'une manière^énérale , la nature de cette courbe. Et traitant cette équation comme si elle était donnée , on obtiendra par son moyen d'autres équations qui détermineront les quantités qu'on avait (f abord regardées comme connues ; et par ces quantités enfin, la nature dç la coutbe sera elle-même déterminée. On en verra des exemples dans quelques-uns des problêmes suivans, que j'ai multipliés dans le dessein de les faire servir d'exercice pour ceux qui étudient, et de mettre dans un plus grand jour la doctrine que je viens d'exposer.

PROBLÈME r'.

Étant doimU une droite BC Jtune longtuitr connut ^ sur Us extrémités de laquelle deux autres droites BA^ CA foru des angles dormis ABCj ACBj trouver la hauteur AD du point de concours A^ au-dessus de la droiu donnée BC.

(PLljFtg. i4).SoitBC=a^ etAD=y.?u]sqacV^ng\eABDest donné , la table des sinus et des tangentes nous donnera le rapport entre les lignes AD et BD que )e suppose être comme de ^ à e. Soit donc d : e :i ADÇy^ : BD^n-^. Pareillement, à cau>e de Tangle donné ACD^ on aura le rapport entre les droites AD et CD, que je suppose celui de d k/j ainsi DC= -^. Mais BD + DC

^rsBCj c'est-à-dire -^ + -^ =tf. Cette équation étant réduite, en multipliant chaque membre par dj et divisant par e+/, on a

* ad