PROBLÊME III

Etant donnes le pirimhn et ta surface d'un triangle rectangle ABC^ trouver son hypothénme BC.

(PL II, Fig. i). Soient, le périmètre tf,la surface ^*, BC=sx\, et AC=sy^ on aura AB=z\/x^ — j^*, ce qui nous donnera une

seconde valeur du périmètre, BC+AC+AB=x+y+Vx^ — y. Tome /. S

La surfece est i ACx AB = jy V x* — y'. Nous avons donc maintenant deux équations , «^ H-^ + ^ x^ — ^* = «» et

^y \/x^—y => b\ Cette dernière donne , V'ar»— ^» = -iil. Je substitue dans la première , au lieu de y x^ — y^ j et elle

devient, ^+^H = tf, ou, en multipliant tout par y^ xy +

y^ + %b'^ :=^ ay y ce qui donne, y^^=iay — xy — lA*. Ensuite je retranche de chaque membre de la première équation, X'\-y^ ce qui la réduit à V x^ — y^ z=a-^x — y. J*élève tout au quairé pour foire disparaître le radical, et j'ai, jc* — ^*=tf*— 2tfx + x^ — lay + xxy'\'y^ ^ qui , après avoir ordonné et divisé tout par 2, devient, ^* = «^ + ^ jc — xy ^^ Égalons cette seconde

valeur de y^ à la première, il viendra, ay -^ax — xy^ -j- = tfjr

-- xy — 1^*, qui se réduit à « a; — ~ =5 — x**, ou bien à

Seconde manière.

Soient, la moitié du périmètre tf , la surface t^^ et BCj x. Nous

aurons AC+AB=:ia — x^ et BC (x^)=i j4B + j4C^ et

^ =**, ou bien, j4Bx ACzz iA*, ou bien, xABxAC

= 4*\ Donc x^^^b^^ÂlB+ÂC^xABxAC^{AB'\^ACy'

= ( 1 tf — AT y. Par conséquent , x^ + 4^- =: 4a* — 4^ * + ** , ou bien, * = tf 1.