PRO BLÊME IV

Étant donnés U pirimitrc et la hauuur d'un triangle rutangk^ tromtr et triangle.

(^Pl. II, Fig. 10). Soient, C Tangle droit du triangle ABC^ et

CD la, perpendiculaire sur la base AB. Soient A B + AC + B C

£=3 II, et CD=zb. Faites la base ABzzx^ la somme des côtés

-^ C + CB sera a — x. Supposez que la différence de ces mêmes

côtés soit y j alors le plus grand côté AC sera, -fLZLlil-, et le

plus petit B C sera , ^-^^^7 ^ Maintenant , par la nature du

triangle rectangle , on a, AC+ BC±=i AB ^ c'est-à-dire

^* — '^^' + »*+y^ -. ^^^. On a encore la proportion ABiACilBC:

DC (♦), ainsi ABxDC = ACx BC, ce qui donne.

tx=: ^* — ^^^ + ^* — ir' , Or de la première équation Ton tire, y = x^ + iax — a* , et de la seconde , j^* = jc* — lax + a^ — 4ix; donc x^ + lax — tf* = a:^ — lax + a^ — 4*^'^ > qui se réduit à 4ax + 4bx = ia\ ou bien, ^= aa + i^"

Ce résultat peut s'énoncer ainsi en langage géométrique : Dans tout triangle rectangle , la somme faite du pirimitre et de la perpendiculaire est au périmètre\ comme la moitié du périmitre est â la base.

Retranchez i a: de ^ , et le reste sera — t— r- > excès des côtés sur

*(<) Cette proportion a lieu à cause de la similitude des deux triangles rec- •angles jiCB, CBD.

Si

la base. (ii). Ce qui nous montre que dans tout triangle rectangle, la somme faite du périmètre et de la perpendiculaire est au périmètre^ comme la perpendiculaire est à texch des côtes sur la base.

Étant données la base AB d^un triangle rectangle y ainsi que la somme faite de la perpendiculaire et des côtés CA + CB + CD , trouver le triangle.

(^Pl.UyFig. lo). Soient, CA + CB + CD = ay A B^ b^ CD = X , alors AC + CB =j ^ — x. Faites AC — CB = j^, vous aurez jCzz -^^=^-^. et CJÎ = -lnlniL. Dep\us,ÂC+TC=iTB, ou bien, J^T.2fJL+J!l+yL =b\ On a encore, ACxCB^ABx CD y OU "' --^ax + x^^y* z=zbxy et en tirant de ces deux équa- .tions les valeurs de y et les comparant , on a , ib^ — a^ -^lax

— X* = a^ — lax + x^ — 4b X y et en réduisant, x*= iax + ibx

— a^ + b^y d'où Ton tire , x = a + b — VTâb+TP.

De cette dernière équation on tire l'énoncé géométrique suivant: De la somme faite du périmètre et de la perpendiculaire , retranchi[ une moyenne proportionnelle entre cetu même somme et le double de la base^ et le reste sera la perpendiculaire.

Le même d*une autre manière.

Soient, CAa- CB + CD=:ay AB=:by et AC=Xy et on aura,

BC=:\/y^ —x% CDc^ 1^[:ZI!L, et x + CB + CD = a, m

CB + CD t=ia — X. Par conséquent , -"f" - ^ b* — ** = a — x. Et en élevant chaque membre au quarré, et multipliant tout par b^ ^ on aura, — x"" — ibx^ + ib^x + b^=^a^b^ — lab'^x + b^x"^. (zz). Et en transposant et ordonnant

Et en tirant la racine de part et d'autre, on aura, x^+bx + b'^ + abz=:(^x+ b^ V xab+ ib^. Et en résolvant cette équation, on a,

xz:z — ib+V^ib'+iabài[/^bVW+T^—ib^ — iab.

Construction Géométrique.

( P/. II, Fig. 1). Faites ABz=:^b, CB:=:^a, CDzz'^AB. Prenez AE moyenne proportionnelle entre b Qt AC. Prenez de plus EF moyenne proportionnelle entre b et DE ^ et portez EF de part et d'autre du point £, et les deux lignes BF^ BF seront les deux côtés du triangle. (13).

P R O B L Ê \r E VI.

Étant données dans un triangle rectangle ABC^ la somme des côtés AC + BC j et la perpendiculaire CD y trouver le triangle.

{PI. II, Fig. 10). Soient, AC-^-BCzzza, CD^b, AC=x^

on aura, SCzza — x,^ et A B^k^V^ a^ — i^x + i x^. On a de

plus la proportion CD : AC :: CB : ABj ce qui donne

, AB =sj -î-lipiL. Par conséquent, tfx — x* =: i k «* — xax + 1 a%

,et en quarrant chaque membre et ordonnant .^. ..

— xax^ 2. 2Â- ) -^^^ + ^ab^x — à^V" = o. Ajoutez à chaque

membre a^b^ + b^^ et vous aurez, x^ — %ax^ ^a^ | **+ i^***^ 4- ^^ = fl^ ^* + ^^ , et en tirant la racine de chaque côté

x^ — ax — b^ z=i — b vi^+b^. Et en résolvant cette équation , xzz^adby^ ^a^ + b^ — b\^a' + b\

Construction Géométrique.

( PI. II, Fig. 3 ). Faites AB^BC=\a. Élevez en Cla perpendiculaire CD=^b; prolongez CD jusqu'en £, afin que DE = DJ; prenez une moyenne proportionnelle CF entre CD et C£, et du point F comme centre, et avec un rayon égal k BC, décrivez Tare de cercle GH^ qui coupera la droite 5 C en G et en H^ et les lignes BG et BH seront les deux côtés du triangle. (14).

Le même d*une autre manière.

{PL II, Fig. 10). Soient, jiC+BC=:a, AC—BC^y^ AB = x^ et DC=:b, on aura ^C= -1±^, iïC= -i^,