PROBLÊME XL
Etant donnes Us côtés tTitn triangle^ trottver les angles.
ÇPL II, Fig. 7). Soient les côtés du triangle ABzr:. a^ AC = b^ BC=s Cy et supposons que l'on cherche l'angle A. Abaissez sur le côté ^^ la perpendiculaire CD opposée à l'angle A. Cela fait, on
a d'abord , ** - c* = AC— BCz^ AD — Bd\xS) = {AD'¥BD) x (AD^BD) ^ABx {xAD^AB) = xADxa^a\ Ainsi
** — c^= %ADxa — a\ D'où l'on tire, AD='-a+ ^'"'^
ce qui fournit un premier théorème énoncé comme il suit :
THÉORiME ^^ AB : AC^-BC :: AC—BC: une quatrième proportionnelle M Ce qui donne A D z= àl — ^ ensuite
AC : AD :: le rayoa : au cos. de Tang. A.
En outre, DC = TC-ÂD= >.'*- + >. «c +^> M ..,.^, M- ^ ^ (. + t+Ox(. + t-.W.-*+Ox(-.+^+0 (^^). Et en multipliant
le numérateur et le dénominateur de la racine du second membre de cette équation par ^ ^ on en déduira le second théorème :
T H Éo rêmeII^. tab : une moyenne proportionnelle entre
<tf + * + Ox(tf + * — et (a— * + c)x(— tf + ^+^) :: le
rayon : au sinus de Tang, A^
Prenez sur AB \à, droite AE^=^AC^ et tirez C£,rangle KCD sera égal à la moitié de Pangle A (30). Retranchez AD de AE^ et
il restera, /?£= i -^ tf - ^ ^^ = ^ — ^
= (^4-^-^M^-^+^) ^ par conséquent
^.^ (c + .-3)x(c+ , .-.H-^+^)x^-^+^) ^ De^là se dé. duisent le Iir et le IV® théorèmes :
Théorème IIP. tal : (c + tf — i) x(c-— 4 + *) :: ^C : J3 £ : : le rayon : au sinus verse de Tangle A.
Théorème IV*. Une moyenne proportionnelle entre ^ + ^ + c €t tf + ^ — c : une moyenne proportionnelle entre c^a — b et ^ — tf + * :: CZ? : DE :: le rayon : à la tangente de la moitié -de Tangle A (31), ou bien :: cot. ^ A \ zm rayon.
De plus, comme on zTe^Td^DE^i ^^**+*^^-^^*-*> ,
il s'en suit que C£= -J- (^ +^ — *) X (c — tf + *). D'oît Foa tire le V® et le VI® théorèmes.
Théorème V®. Une moyenne proporâonnelle entre xa tx lA : à une moyenne proportionnelle entre c + tf — *ct c — tf + î, :: le rayon : au sinus de la moitié de Tangle A. (32).
Ou bien i : à une moyenne proportionnelle entre ^^^^ ■
«t ^""''^"^ :: CE : de IX le rayon : au sinus de la moitié de
Tan^le A. (33).
Théorème VP. Une moyenne proportionnelle entre i<i et % l : une moyenne proportionnelle entre a + t + c et a-^- b — c :: CE :: CD :: le rayon : au COS. 7 A. (34).
Si outre les angles , on veut trouver la surface du triangle , il n'y
a qu'à multiplier CD par , et la racine quarrée du produit, ou
i V^(tf + *4-^)x(tf + *-0x(^"* + 0x(-^ + *+0 sera la surface cherchée.
PRO BLÊME XIL
Les coiils et la base (Vun triangle reciiligne quelconque itani donnés^ trouver Us segmens de la base , la perpendiculaire , la surf au et Us angles.
{PI. II, F^. 8> Soient AC et BC les côtés du triante J£C^
^ABs^ base , coupez A Ben deux parties égales «n /, et sur chacune
de ces parties prolongées, prenez A F et A E égales chacune k AC^
^et BG et BH égales cliacune à BC; tirez les lignes CE et CF^
et du point C, abaissez une perpendiculake CD sur la base. Vous
aurez ^ — Tc=Jz? + CD — C^ — Wd — Tb ~BD =^ iAD+BD)xXAD^BD} =ABx^DT. Donc ....
