PROBLÊME X IV

Trouver h triangle ABC dont les trois côtes AB^ AC^ !S t, et la ptrpen^ Jiculaire CD sont en progression arkhmitiipie^

(Pt H, Fig. lo). Par renoncé du problême on a donc cette proportion -r AB . AC . BC . DC. Faites ^C = tf, 5 C=a:t, vous •aurez Zy^ =: 2« — 4 et AB^aaz xa, — ;r; vous 'aurez ^uâsi

ryx DE LA RÉSOLUTION

V^ 4ax — 3 AT* — a\ Nous aurons donc une seconde valeur de . . . AB s=i V 4ax — 4x^ 4- ^ ^ax — 3X* — tf*. Ainsi

itf — x = V^4tfx — 4x*'+V^4tfA: — 3Jtr* — tf*; ou bien

1 <i — X — V Aax — 4Ar* = V^4a* — 3 x* — tf*. Et en quarrant chaque membre, 4^* — 3**--(4^ — i:^) X V j^ax — 4X* = j^ax — 3X* — tf*;ou bien 5 tf* — 4 tf * = (4^ — a a:) V^4tf x — j^x^. Élevant de nouveau chaque membre au quarré et ordonnant, on a 16 jp4 — %oax^ + I44tf*x* -^ 104a' a: + 15 a^ = o, équation qui , étant divisée par a x - tf , devient, 8 x' - 36 ^x* + 54^*4? - 25 n' = o. Et en la résolvant, on trouvera x pour une valeur arbitraire de a. a et X étant déterminées , construisez le triangle dont les côtés seront %a — X, tf, et x; et la perpendiculaire ab^ssée sur kcôté xa — x sera égale à xx — a.

Si j'avais fait la différence des côtés =3 ^^ et la perpendiculaire =:x, l'opération aurait été plus coiute, et Téquadon finale un peu plus simple, j'aurais eu, x' = 24</^ x + 48^.