PROBLÊME XV
Trouver U tr'umgU ABC dont ks trois câtés AB^ ^C, BC et Upet" ptndiculaire CD sont en progression géométrique.
(^ PL llf Fig. 10 )• Par l'énoncé du problême on a la pro^vsàon
AB : AC :: AC: BC :: BC: CD. Et en faisant ^C = x, et
.BC^Uf on aura, ^Btss J~i et CD ss ■—-. On a ausâ
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DES QUESTIONS GÉOMÉTRIQUES. lyj
^D=V^Tc—CD==[^x^— ^; et BD=^V TC—'DC
^'V^a^-^' Donc ^=(^5)= 1/73:5:+
l/TTlî. Ou bien ^ - V-'-^ = |/^^-^; et en
quarrant chaque membre, il vient, ^ - -^ j/^^ - ^
AT* — ^y qui se réduit à, x^ — a^x^ + d^=: la^x V x'^ — a"-. Et en quarrant de nouveau chaque membre , on a, a:* - 2 <z^ x^ + 3 a^x* - 2a^:c*4-fl8 =3 ^^4jj.4 — /^a^x^y ou bien, x^ — xa^x^ — a'^x^^
la^x"" + a^ zno. Divisez cette équation par x^ — a^x^ — a^^ et il viendra , x^ — a^x^ — a^. Par conséquent , x'^ r=z a^ x^ '\- a^. Et en résolvant cette équation , on a , x^ ^=^^a^ -{'V \ a^. Ou bien ,
x=iay^+v^. Prenez donc a ^ ou BC k volonté, et faites
cette proportion, BC : JC :: AC : AB :: i : yT+Vj^ Le
triangle ABC étant construit par le moyen de ses côtés ainsi trouvés, la perpendiculaire DC^ abaissée sur BC^ sera dans la même raison que les côtés.
Le même d*une autre manière.
( ?L II, Fig. II ). Puisqu'on a AB \ AC \\ BC ; CZ), je dis
que Tangle ACB est droit. Si on doutait qu'il le fut, il ny a qu'à tirer la droite CE de manière que l'angle ECB soit droit; alors, par la 8*, prop. du sixième liv. des Elém. BCE et DEC sont deux triangles semblables , par conséquent ^BE\EC\\ BC: CD.
Donc BE i EC y. AB i AC. Tirez A F perpendiculaire sur CF ^ et à cause des parallèles A F et CB ^ on aura, BE : EC \l AE : EF :i AB : FC. (37). Donc, parla 9®. prop. du cinquième liv, des Élém. ACs=FC^ c'est-à-dire que Thypothénuse d'un triangle rectangle est égale à un côté de ce même triangle; ce qui est impossible, par la 19®. prop. du premier liv. des Elém. L'angle E CB ne peut donc pas être droit, il faut par conséquent que l'angle ACB le soit. Donc AC+BC=zÂB. Or, Tc=ABxBC (*). Donc ABxBC+BC=^ABy et en résolvant cette équation pour en tirer la valeur de AB , on aura, AB^:^ -^ + K - BC. En conséquence, faites BC \ AB :: i : — ^- — i- > et prenez AC moyenne proportionnelle entre BCet AB^ et le triangle étant construit avec les côtés trouvés de cette manière, les lignes AB^ ACy BCy DC seront en proportion continue.
