PROBLÊME XVII

Étant dormis Us côtés AB^ BD^ DC et AC ^ et une diagonale BC' Jtun parallélogramme quelconque , trouver l* autre diagonale AD.

(^PL II, Fig. 13). Soit E le point de concours des deux diagonales; abaissez la perpendiculaire A F sm la diagonale BCj et, par la 13®. prop. du second liv. des Elém. vous aurez

5Tc ^ ^^* ^^"^ Burez également , tEc — ^ ^^'

Or, comme EC= ^ BC, et que AÈt=^ AD, on aura.

^-^ô-n — ^ — == TnT^ * et en faisant la réduction et

dégageant JD, il vient, y^Z>= V xTc + iZ/? — 5a

D'oii l'on peut voir en passant que dans un parallélogramme quelconque , la somme des qijfàrrés des côtés est égale à la somme des quarrés des diagonales. (40).

PROBLÊMEXVIII.

Étant donnés Us angles ^ la surface tt U pcrimitrt d'un traph;t ABCDj trouver ses côtés.

(^Pl. II, Flg. 14). Prolongez deux des côtés quelconques AB ci DC jusqu'à ce qu'ils se rencontrent en un point E. Soient j4B =s X j et 5 C = j^ ; et puisque tous les angles sont donnés , on connaît les rapports de BC h CE et à BE; supposez qu'ils soient comme ceux de ^ à (; et à /, vous aurez CE = -~r 3 elBE = -—- * par conséquent, ^ E = x + -^^ Par la même raison que l'on connaît les angles, on connaît encore les rapports de AE k AD et à DE ; supposez qu'ils soient ceux de ^ à ^ et à A, et vous

aurez , AD= il±/^ , et £2? = -^^^4^. Ainsi

CD=^DE — CE=2 I1±JJL jy. Donc la somme de tous les

côtés est , x+y+ ^''+fy ^ ^^+^-y ^ • Et puisque cette

somme est donnée , appelons-la a. Et pour abréger , au lieu des quantités données , i + — + -|- , substituez -y- ; et au lieu des

qiiarxtités données , ^ + + ^ "" "T > substituez -|- , et Téquation deviendra ^''^^^ = a.

En outre ^ à cause des angles donnés , on connaît le rapport de

BC k la, surface du triangle BCE^ que je suppose le même que celui de /n à ;2. On aura donc le triangle B CE == -~ — Soit aussi

le rapport Aq AE au triangle ADE égal à celui de m à ^, et on aura le triangle ADE^=2 d-x^ + idfx^y+py* p^ conséquent,

comme la surface ACj qui est la différence des surfaces de ces

deux triangles , est donnée , supposons-la égale à ^^ , et nous aurons ,

^x* + ^ fxy^-^py*^ ny^ ^ ^z^ Nous avons donc deux équations ,

au moyen desquelles nous pouvons tout déterminer. Car si de la

première , ^*"^^^ = tf , nous dégageons x , nous aurons .....'..

^ ra^qy ^^ ^^^^ valeiuT de X étant substituée dans la seconde ,

elle deviendra, ^^-^-^^J^^^^i^^^ + ^afry^^f.y^

^^^^Im^^ ^^ **• ^^ mettant , pour abréger , 5 , au lieu de la

quantité connue -^ ^^ Ç- — ''j et st^ au lieu de la

quantité connue Y --^ j ^^ enfin sty^ au lieu de la quan-

tité connue IP-m ^, on aura, ^* = iry + fv,ou