PROBLÊME XIX

On veut entourer un réservoir ABCD ^ (Tun trottoir ABCDEFGH (Tune surface donnée , et ayant par-tout la même largeur.

{PI. II, Fig. 1 5 ). Soit la largeur du trottoir jc , et sa surface o*. De tous les angles A^ Bj C^ Dy menez aux lignes EF^ FG^ GH^ HE^ les perpendiculaires AK^ BLy BM, CNy CO^ DP^ Z?Q, Al. Le trottoir sera divisé en quatre trapèzes, KI^ LM^ NOj PQ, et en quatre parallélogrammes, AL^ BN^ CP^ Dly ayant tous x de largeur, et d'une longueur égale à celle des côtés du trapèze donné. Soit donc la somme des côtés de ce trapèze -^5 + j5C+ CD + DA = bf et la somme des parallélogrammes sera bx.

Ensuite je mène les lignes AE^ BF^ CGy DHj et puisque

AI = AK, j'aurai Tangle ^£7 = Fangle AEK^'-IEK^

{ DAB. Ainsi Tangle aE I est connu , puisqu'il est la moitié d'un

angle connu DAB ; par conséquent on connaît la raison de Al k

El, qu^elle soit celle de ^ à e, on aura, IE=:^. Multipliez

lE par i AI, ou ^ x, et la surface du triangle AEI sera, -^.

Mais à cause de l'égalité des angles et des côtés , les deux triangles

AEK et AEI sont égaux; ainsi le trapèze IK=iX triangles

^Ef= -^ . Par la même méthode, en faisant, BL: LFy.d: fi

et CN: NG v, d: g; et DP i PHv. d:h{ car tous ces rapports

sont donnés , parce que les angles A^ B^ C^ D sont donnés ) oa

aura les trapèzes, LMs. ^; NO^-^; et PQs ^. Ainsi

hjt*

égale la sdmme des quatre trapèzes, IK + LM + NO + PQ. On peut encore abréger cette expression en faisant, €+/+ g + h=sp^ ce qui donne -^^ pour la somme des surfaces de ces mêmes trapèzes. Et en y ajoutant bx^ somme des surfeces des quatre parallélogrammes, on aura, ^^+tx=s a^y surfoce totale du trotïfcir. Cette équation étant résolue, donnera, X = "^ ^^+ — bi£+4££d^ j^ largeur du trottoir étant ainsi trouvée, il est facile de le décrire.