PROBLÊME XX

Mener ^tm point donne C, une droite CF^ qui renferme^ avec deux autres droites AE y AF données de position , un triangle AEF d^unt grandeur donnée.

(PI. m, Fig. I )• Menez CD parallèle à AE, et CB et EG perpendiculaires sur A F. Soient , -^ /? = tf , CB = by AF=:xy et la surface du triangle AEF =0^ ; et à cause des lignes proportionnelles, DF\ AF \\ ÇDC: AE) y. CE :EG, ou bien,,tf + X l X \\ b i ^*^ , on aura , E G =i -7^7^ • Multipliez cette perpendiculaire par la moitié de la base AF^ et vous aurez pour

l'expression de la surface du triangle AEF^ 2aA-%x

r, ou

iac*

bien , x^ — -^-j^ ^j^ =1 p , équation qui , étant résolue , donne

On suivrait absolument la même médiode sHl s'agissait, par un

i6o DELARÉSOLUTION

point donné, de mener ime droite qui partageât un triangle ou un

trapèze en raison donnée.

PROBLÊMEXXI.

Déterminer sur la droite D F un point C y tel que si de ce point on mine deux droius AC et BC aux points doMs A et B ^ la diffirtnu de ces deux droites soit égale à uru ligne donnée.

(^PL III 5 Fig. 1 ). Des deux points donnés abaissez les perpendiculaires AD et BF. Faites AD = a, BF=^bj DFz=ic^ DC=^x^ et vous aurez -^ C == V/tf^"+lF , FC^=ix — c^ et BC =i\/ i^i ^^^ — zcx + c^. Supposons que AC soit la plus grande des deux droites , et 5 1 la plus petite , et que leur diflPérence =d; on aura donc V a^ +x^ — d=s V t^ + x* — icx+^. Et en quarrant chaque membre , a^ + x^ + d^ — i </ V' a* + x^ =s t^ + x^ — icx + c^. Et en effaçant ce qui se détruit, ^t Élisant,

pour abréger, û* + i/^ — *^ — c* =3 2^% on aura

e^ + ex =s d V a^ + x^ j et en élevant dç nouveau chaque membre au quaité, e^ + zce^x + c^x^ = d^a^ + d^x^. Et en résolvant cette équation , il viendra, x = j-c + ^ ^-^;-^^;^- + a-^-c' .

Le problême se résoudrait d'ime manière analogue si , au Heu de la différence des lignes A C ci BC^ on donnait leur somme , ou la somme, ou la différence de leurs quarrés, ou leur rapport, ou leur produit, ou Tangle qu'elles comprennent ; il en serait encore de même si , au

lieu

DES QUESTIONS GÉOMÉTRIQUES. i6i

lieu de la droite Z?C, on donnait ou une circonférence de cercle, ou une autre courbe quelconque, pourvu que dans ce dernier cas le calcul se rapportât à une droite qui unirait les points A et B.