PROBLÊME XXII I
Il faut dhcrmîncr un point Z tel que , si de ee point on mine , sous des arglcs donnés , quatre droites , Z Â ^ Z B ^ Z C et Z D ^ à quatre autres droites données de position FA^ EB^ FC^ G D^ U rectangle des deux droites Z A a Z B soit donné ; et que la somme des deux autres droites Z C et Z D soit aussi donnée.
( PI. III , Fig. 4 ). Parmi les lignes données de position , choisissez FA^ et parmi celles qui ne sont pas données de position ZA qui tombe sur FA. La longueur de ces droites étant déterminée, la position du point Z le sera aussi. Prolongez, s'il est nécessaire, les droites données de position jusqu'à ce qu'elles rencontrent cellesci. Faites EA 7=ix ^ et AZ =zy. Comme les angles du triangle
A EH sont donnés, la raison Aq AE k AH est connue; supposons qu'elle soit comme celle de /^ à ^ , on aura, AHzn-^JL, Ajoutez
AZ à AH, et il viendra, ZH—y+ -11. ZH étant calculée,
et les angles du triangle HZB étant donnés, la raison de HZ à
Z B Qst aussi donnée ; supposons qu'elle soit celle de /2 à /^ , on aura, ZB = .nL±dJL. '^ ' I
En outre, si on appelle EF, a, A F sera a — x; et comme les angles du triangle AFI sont donnés, on supposera que le rapport connu de A F h. Al est comme celui de /? à r, ce qui donnera, ^/= -IfJZliL. Retranchez AI de AZ^ et le reste sera
IZ^=:y iLlUULL, Et comme les angles du triangle ICZ sont
connus, on supposera le rapport de IZ k ZC^ comme celui de m k py Qt on aura, ZC= ULzzlJL±l!L.
tn
En suivant toujours la même méthode , si on fait EG =^b , et A G : AK :: / : 5, et ZK : z D :: p : l, on trouvera
ZD= sb^sx^ly '
p Maintenant, par les conditions du problême, la somme des droites ZC et Z D doit être* égale à une quantité donnée; soit / cette quantité. On aura donc P y'-^^ + ^* ^ — jy— y __. y; Et le
rectangle des deux autres droites AZ et ZB doit être aussi égal à une quantité donnée. Soit ^ cette quantité. Nous aurons donc une seconde équation ^^'* » ^^^ = g-. Au moyen de ces deux équations on déterminera les valeurs de x et de y. De la dernière on
j64 DELARÉSOLUTION
tire X =r -IL-lifiL. et en substituant cette valeur de x dans
la première , elle deviendra ."
m mqy p pqy -^ '
y- = -P^iry-hmqsy^fmpqy^^mns^g^npr ^ ^^ ^^ ^^^
P'^q-^pr-^miq'^mps '*
aoreger, p2g^p^ r^m Iq + mps ""*'*• ^^ p^q-^ p^ r^ mlq + mp s " '^ >
on aura j'^ = iky + k^^ ou bien y = k± V h^ + k^. Connaissant
y par le moyen de cette équation , on trouvera la valeur de x par
le moyen de Téquation x = -2XJILL2L-, La valeur de ces deux
inconnues étant déterminée, la position du point Z sera connue.
On suivrait à-peu-près la même méthode , s*il s'agissait de déterminer la position d'un point , duquel on voulût mener à un plus ou moins grand nombre de droites données de position, autant de droites, avec ces conditions : que la somme, ou la difFéreftce, ou le produit de quelques-unes de ces droites , égalât ou la somme , ou la différence , ou le produit des autres ; ou enfin que ces droites eussent des conditions données quelconques à remplir.
