PROBLÊME XXIV

Il faut placer dans C angle droit EAF um droite donnU E F ^ de mamirc que cette droite prolongée passe par un point donné C , également éloigné des des deux droites qui comprennent V angle droit.

{PL III, Fig. 5). Il faut achever le quarré ABCD^ et couper la droite donnée EF en deux parties égales par le point G. Alors faites CB ou CD = tf, EG ou FG = b^ et CG=:x; vous aurez CE =: X -^ by et CFzz X + b. Ensuite comme CF — B C^^BFy

DES QUESTIONS GÉOxMÉTRIQUES, 165

il viendra, j? -F = V^;c- + z^x + V^ — tf^ Et à cause des triangles semblables CDE et FBC^ on a, CE : CD ;: CF : B F^ ou

X —b : a :: X + i : V x" + ibx + ^*~tf\ D'où Ton tire,

ax + ab = (a: — b) V^x^ + ibx + b"- — a"-. Et en quarrant chaque membre de cette équation et ordonnant , on a

■*^* = , j^^z < ^* f4 . Équation qui, étant résolue par la méthode de celles du second degré , donne x^=a^ + b'' + V" a^ + 4a^b'' ^

et enfin x = ya^ + b^ + V^ a^ + ^a^ b"-. La valeur de x ou CG étant ainsi connue sert à déterminer CE ou CF^ et par le moyen de Tune ou de l'autre de ces deux droites, on détermine le point E ou le point F, et le problème est résolu.

Le même d'une autre manière.

(MémeFig.).¥aites CE-x^ CD- a et £F=^, vous aurez CF-x-k-b^ et

BF^ V x"- '\- xbx + b''-a\ et la proportion CE : CD :: CF : BF,

ou X : a :i X + b : \/ x^ + ibx + b^ — a* ; ce qui donne

ax + ab^x V x^ + 2 ^ a; + ^^ — fl* , et en quarrant chaque membre et ordonnant les termes , il vient

A:*4-2*Ar^ z I x^ — xa^bx — a^ b^ =z o. Équation du 4®

degré dont les racines sont plus difficiles à trouver que celles du cas précédent. Voici cependant comme on peut les trouver. Ajoutez de part et d'autre a^ b^+à^^ afin de faire du premier membre un quarré parfait, et vous aurez

:^+ibx^ "*" ^\ i x"^ — ia^bx+ a^=a^b^ + a^; et en tirant

— 2 tf i

i66 DELARÉSOLUTION

la racine de chaque membre , il viendra x^ + bx-a^ = dba V a^ + b'.

C'est ici l'occasion de donner une règle sur le choix des termes propres à commencer le calcul. Lorsque Jeux termes ont' une telle rfescmblanu de rapport avec les autres termes de la question^ quen prenaru Vun ou Vautre on arrive â des équations entièrement semblables; ou quen Us prenant tous deux en même temps ^ ils aient dans t équation finale le même nombre de dimensions ^ et la même forme , et ne différent peut - être que par les signes + et — , // faut as rejetter tous deux également , et prendre à Uur place un troisième terme qui ait un même rapport avec l'un et Vautre , par exemple leur demi-somme , ou Uur demi - différence , ou une moyenne proportionnelle^ ou enfin telle autre quantité quon voudra qui aie avec eux une même relation , pourvu que cette quantité soit la seule qui /cuisse de cette propriété.

C'est ainsi que dans le problème précédent, en voyant que la ligne £F avait une mome relation avec j4 B et AD ^ comme on peut s'en assurer en menant EF dans Tangle BAH^ et que par conséquent aucune raison de préférence ne pouvait me déterminer à prendre pour l'inconnue qu'il fallait chercher, ED plutôt que BF^ ou AE plutôt que AF^ ou CE plutôt que CF ; au lieu donc des points E et F qui causaient toute mon incertitude , j'ai pris , dans la première solution , le point G qui coupe EF en deux parties égales; et comme CG a la. même relation avec AB et A D^ et qu'il n'y a pas une seconde quantité qui ait avec ces deux lignes la même relation que CG; je me suis déterminé à prendre CG pour l'inconnue qu'il fallait chercher, et j'ai obtenu une équation du 4* degré, oii il ne s'est trouvé aucun terme affecté des puissances impaires de l'inconnue. On voit bien que je serais retombé dans ma première incertitude, si, ayant pris le point (?, j'avais voulu

chercher une inconnue au moyen d'une perpendiculaire abaissée de ce point sur AF^ parce que j'aurois pu également en abaisser une sur AD; par la même raison, je n'en ai abaissé ni sur CB ni sur CZJ.

J'aurais pu encore, en remarquant que le point G est à la circonférence d'un cercle décrit du point A comme centre et avec G E comme rayon, j'aurais pu, dis -je, abaisser la perpendiculaire GK sur la diagonale AC^ et chercher AK ou CiC, qui ont le même rapport avec AB ou AD^ et arriver à l'équation du second degré ^^=3 — jcy +ï**, en appelant AK^ y; AC^ e; et EG^ b. A K étant ainsi trouvé, on eût élevé la perpendiculaire -KG^, et son point de rencontre G, avec la circonférence décrite du centre A^ eût servi avec le point C, à diriger la droite CF, et le problême eût été résolu (41).

C'est en suivant l'esprit de cette règle, que dans les problêmes IX et X, oîi il fallait déterminer les deux côtés AC et BC d'un triangle, au lieu de chercher l'un ou l'autre de ces côtés, j'ai cherché leur demi - différence. Mais on verra encore mieux dans le problême XXVIII^, le grand usage de cette règle.