PROBLÊME XXVI

Étant donnks trois droites AE^ BF y CFy trouver un point D tel qtUj si de ce point on abaisse sur chacune des droites^ des perpendiculaires DAj DB , DCy ces perpendiculaires soient entre elles dans un rapport donné.

( PL III, /7g. 7 ). Prolongez une des droites données de position, ainsi que la perpendiculaire qui tombe sur elle, BF par exemple, et sa perpendicidaire -ffZ>, jusqu'à ce qu'elles rencontrent les deux autres droites AÈ et FC^ la droite BF les rencontrera aux points E et P^ et la perpendiculaire aux points G et H. Faites maintenant EB=iXj et EF=zay et vous aurez BF=na — x. Et comme les droites EF^ EA et FC sont données de position, les angles E et -F, et les rapports des côtés des triangles EBH et FBG sont aussi donnés. Soit donc le rapport de EB k BU ^ comme celui de ^ à ^, et on aura , BHcsa -^; et

£jy = V^Tb + BH= k^jc* + -^ = -5- X^d' + e^ Supposons encore que BF soit k BG comme d est à /, et nous aurons,

BG= ^^7^"" . et FG= y^ BF+ BG=^

FG=i ^7"" V d"- +/*. Ensuite appelons BD^ y; et il nous viendra, HD^=z J^ -^y; et GD^=s I±=l£±^—y. Et comme on

a les proportions AD : HD ;: BE : HE :; d : V^T+7"; et Tonu I. Y

DC: GD :: BF : FG :i d : V^i*+«*. De la première on tire, jl,==,-i^0=r, et de la seconde, Z?C= ^' y i'^^' • De plus, comme les rapports des lignes BD^ AD^ -OC, sont donnés , • supposdftTs que BD : AD :; V d}- + «* : A — </, et il viendra, yÇ^ —AD^ '^^j^l ; ce qui donne hy = ex. Soit encore

BDiDCv. V d^+p :k-d, et on aura, -p^^ =Z?C =

^'"^d'ZP ' ' ^^ ^^ donne ky=^fa—fx^ d'où Ton tire,... y—.I±ZLÙL. Mais réquation hyz=.tx^ donne aussi ^= -y^,

donc "Y" = ^T"^* "» ^^ bien, x^=^—~^jj^' Faites donc cette proportion, -^ + A : A :: £/*: £5, et £5, ou :r, étant ainsi déterminée, substituez sa valeur dans Téquation hyzz^ex^ et vous aurez la valeur de y par cette proportion, A : « ;: -ff£ : ^27; ainsi le point D sera déterminé.