PROBLÊME XXVII

Trouver un point D ttl^ que si de ce point on tire trois droites DAp D B j DCy à trois points donnés A^ B y Cy ces droites soient entre elles dans un rapport donné.

(^ PI. III, Fig. 8). Des trois points donnés, joignez-en deux, par exemple -^ et C, par une droite -^C, et du troisième point B^ ainsi que du point cherché Z), abaissez des perpendiculaires BE et DFsuv la droite ^C Faites AEzua^ AC—t^ EBzzCy AF=x^

et FD =y. Et vous aurez , AD s=z x^ + y"^ ; FC=:ib — x;

Td = FC + FD = V' — xbx + AT* + ^\ EF =: X — a^ et

BD = £F + {EB + FD )\ (*) = x* — xax + a* + c* + ic^'+j'*. Maintenant comme AD çx C D sont en raison donnée, soit cette raison , celle de </ à « , et on aura , CD == -j- vl^+y^. Et puisque -^Z> est aussi à jSZ) en raison donnée, soit cette raison, celle de d k /^ et on aura, BD^^-Ç ^x^+y. Par conséquent

''"+fr =:Cn=:y^xhx + x^+y; et f"'+fy' =.BD = x^ — lax + a^ +c^ + icy+ y^. Si , pour abréger , on met dans ces équations p au lieu de ^^ "7 ^' ; et q au lieu de * "T j on

aura , ** — 1 *;c + -^ + X- j^* = o , et

tf* +c* — itf A: + 2i;^+ -^ ;c*+ 4-j^* = o. De la première on tire,

^ ^^ *" '^ =a -^x^ + -^y^. Ainsi, en substituant dans la seconde,

au lieu de -j- ** + "§" ^* ^^ valeur ^^f* — ^'y , elle deviendra ,

'^^1''^ 6*y ^ ^i ^ ^2 — 2tf r 4. icjr = o. Si , poiur abréger , on

feit encore ^ m^^a -^ ; et 1 c/i = — î a^ — c* , il viendra ,

a/w^ + ic/2 = icj'. Et en divisant tout par ic, Téquation se réduit à -2^ + /x ==y. Substituez donc dans l'équation

(•) Il sera très-fecile de voir que -ffX> = £ F + (£i? + /"/>)*, sî dans la figure on imagine par le point B une parallèle à AC ^ et qu'on prolonge la perpendiculaire DF jusqu'à la rencontre de cette parallèle; car le prolongement de DF sera égal à iB£, et la partie de la parallèle interceptée entre BD tt DF prolongée, sera égale à £F,

lyx DE LA RÉSOLUTION

^» xtx + — ;c* + -4- >'* =• o> à la place de y^ , le quarré dé

-^ +«, et vous aurez, h^ r—il>x+ -^x^ + ^^. x"^ + '^"" x ^ .££- = o. Si , pour abréger encore , on écrit dans cette équation -f au Ueu de-f + -^; 4- au Ueu de h- ^, et-îf* au lieu de b^ + -^4^ 9 on aura, x^ =sisx — eb. Cette équation

étant résolue, donne x=isdzV s^ — it. Lorsque x est trouvée, l'équation -2ii- +;2=y, donnera la valeur de y. Et :t et^, ou ^F et FD étant déterminées, le point cherché D Pest aussi.