PROBLÊME XXVII L

On veut inscrire une droiu D C*, J*unt longueur donna , dans une section conique donna DAC^ de manière que cetu droiu passe par U point G donné de position.

( PL III , Fig. 9 )• Soit A F Taxe de la courbe. Des points D , G et C abaissez sur cet axe les perpendiculaires DH^ GE et CB. Maintenant, pour déterminer la position de la droite DC^ on pourrait indifféremment chercher les points C ou D; mais ces deux points ont des rapports si semblables , que l'opération sera toujours la même , soit qu'on veuille les déterminer par le moyen de lignes C<r, CB ou AB ; soit par le moyen des lignes DG ^ DH ou AH. En conséquence je ne chercherai ni l'un ni l'autre , mais un troisième point qui ait la même relation avec les deux premiers, et qui les détermine tous les deux à la fois. Et je vois que le point F remplit ces conditions.

Soit donc AE=ia^ EG= by DC;=Cy FE^s^. Et comme on

a d'ailleurs le rapport entre AB et BC par l'équation de la courbe qui est donnée, nous appellerons AB ^ x; et 5C, y; alors FB sera x — a + {. On a encore la proportion GE : EF i: CB : BFy d'oii Ton tire BF=a -l^. Cette seconde valeur de BF étant égalée

à la première , donne Téquation jc — ^ + ^ s=s -^ .

Cette préparation faite , chassez x par le moyen de l'équation de la courbe. Par exemple , si la section conique est une parabole , dont réquation est rjc=j'*, vous aurez, a; =-^. Cette valeur de x étant substituée dans Téquation précédemment trouvée, nous donnera, •^ tf + ç = 2^; et en résolvant

y = -jf :±: V^ -^ +ar—r:i , d'où Ton voit que

Y -^^ + 4^ r — 4 rç est la différence des deux valeurs de ^, (42-) > c'est-à-dire des lignes + 5 C et — DH. Donc si du point D on mène sur CB la perpendiculaire DK^Xb, ligne CK sera cette différence. Or on a la proportion, F G : GE il DC : CK. Et en mettant

les valeurs analytiques , V b^ + C : t II c : y -!^ + ^ar — ^r^. Et en élevant tous les termes de cette proportion au quarré, et égalant ensuite le produit des extrêmes à celui des moyens, et or-

donnant, on aura, ;(*= i^ ^ (*;.

(*) Noos donnerons à la fin des notes, une méthode générale et facile de construire les équations des 3* et 4^ degrés^ par le moyen d*une parabole donnée et d'un ceide, et de cette manière, nous éviterons une des principales objections

Cette équation n'est que du quatrième degré; elle aurait été du

huitième, si on eût cherché CG , ou CB, ou AB.