PROBLÊME XXIX
// faut multiplier ou diviser un angle dormi par un nombre donné.
(^Pl. III, Fig. 10 ). Dans un angle quelconque FAG^ inscrivez les lignes AB ^ BC^ CD y DE ^ etc. toutes d'une même longueur quelconque, et les triangles ABC^ BCD^ CDE^^DEF^ etc. seront tous isocèles. Ainsi, par la 31* prop. du i**" liv. des Élém. , on aura Tangle CBD = ang, A + ang. ACB = 1 arig. A^ et ang. DCE = ang. A + ang. ADC = 3 ang. A. Et ang. EDF = ang. A + ang. A E D = 4 ang. A. Et ang. FE G = ang. A + ang. A FE= 5 ang. A^ et ainsi de suite. Maintenant, pn regardant les droites AB^ BCy CD^ etc. comme les rayons de cercles égaux, les perpendiculaires BK^ CL^ DM^ etc. abaissées sur AC^ BD^ CE y etc. seront les sinus de ces angles, et AK^ BL^ CM^ DN en seront les cossinus ; ou bien en regardant A B comme le diamètre , les droites AK^ BL^ CM^ etc. seront les cordes (43). Soient donc AB = ir et AK^=^ x^ le reste de l'opération se fait comme il siiit :
que Newton fait aux constructions de cette espèce , c'est-à-dire , la difficulté de tracer la parabole: car puisque la même parabole peut servir à la construction de toutes les équations du 3*^ et du 4* degrés, il est clair qu'alors on peut bien prendre la peine de la tracer avec exactitude.
DES QUESTIONS GÉOMÉTRIQUES. 17c
AB: AK :: AC: ALy
2r : a: ;: 2a: : —. Donc AL'-ABy oii-^-2r = 5I, cossinus du double de l'angle A.
AB : AK ;: AD {xAL-^AB) : AM,
ir : X :: -^^ — ir : -^ x. Donc A M-AC^
ou — 3 •â^ = ^^ > cossinus du triple de l'ang. A.
AB : AR :: ae(^xAM-AC) : an.
^r : X :: -2^ 4« : -J î^. Donc
AN — ADf ou-^ ^ + ir = i>iV, cossinus du
quadruple de Tang. A.
AB : AK :: af{iAN—ad) : AO,
ir : X :: -^^5 ;r-+ ir : -p;^ 2^^- + x. Donc
urfO — AE^ ou-^:; -î^ + 5 jc = £ Ô, cossinus du
quintuple de l'ang. A.
Et ainsi de suite. Si , au contraire , vous voulez diviser un angle donné en un nombre quelconque de parties , mettez ^ à la place de BLj CM 9 DNy etc. et vous aurez x* — ir* = î'' pour la bisection ; jc' — 3 r*;c = ^r* pour la trisection ; x^ — 4;^ jc^ + x r^ = ^r' pour la quatrisection ; et enfin x^ — 5/^^;'+ i^f^ x :=^ qr^ pour la quintisection (44).
