PROBLÊME XXXVIII

Si les deux droites VE a VC données de position , sont coupées d*une maniire quelconque en C et en E j par une droite PE tournant sur le poiru P dormi de position , et si la portion imerceptée ÙE de cette droite est coupie en deux parties CD et DE en raison donnée; on demande de trouver le lieu du point D.

(^PL V , Fig. I ). Tirez VP , et parallèlement à cette droite menez DA et EB^ qui rencontreront ^C en -/^ et en B. Faites yP-Uy VA-x et AD-y^ et cromme le rapport de CD à DE est donné , il ^^n suit que le rapport de CD à CE est aussi connu ,

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i88 DE LA RÉSOLUTION

et par conséquent celui AqD A à BB. Soit donc ce rapport comme celui de ^ à e, et on aura, EB= -^. En outre, comme l'angle E^B est donné, la raison de EB k FB Test aussi. Soit cette raison comme celle de e à/, et on aura , f^B = -^ . Enfin , • à cause des triangles semblables CEB^ CDA^ CPV^ on a cette suite de rapports égaux, EB \ CB il DA iCA llf^P i VC; et en ajoutant, EB + yP i CB+FCii DA + FP : CA + VC, c'est-à-dire, V" "*" ^ • "^ ! î ^' + <^ : JT ; et en faisant le produit des extrêmes et celui des moyens , on aura , exy + adx ^=fy^ +f^y' Equation oîi les quantités inconnues x et j^ ne s'élèvent qu'à deux dimensions. Il s'en suit donc que la courbe FD^ dans laquelle se trouve le point D , est une section conique ; et c'est une hyperbole , parce que l'une des deux indéfinies x n'est que d'ime dimension, et que dans le terme exy elle se trouve multipliée par l'autre indéfinie J '(*)•

(^) On voit par ce qui a été dit dans la note qui est au bas de la page 184% que réquation txy + adxz=ify* -{-fay , appartient à Thyperbole. En effet, 'écrivons-la ainsi : fy^ "^ exy^fay -^^ adx ziz o. Comme x^ ne se trouve pas 'dans cette équation, il est censé multiplié par zéro ; la formule, pour reconnaître le caractère de la courbe, devient donc , «* — 4/ X o, qui se réduit à r*, quantité toujours positive : donc la section est une hyperbole.