PROBLÊME XXXIX

Si de deux points dormis de position A a B ^ on mine à un troisième point quelconque C deux droites AC^ BC qui soient entre elles dahs un rapport quelconque^ on demande de trouver le lieu du point de concours C.

(Pi V, Fig. 2). Joignez les points -rf et J5, et sur la droite AB^ abaissez la perpendicidaire CD; faites ABzna^ DCzizy et AD = Xy vous aurez AC =. V x^ +y ; j5Z? = tf — jt, et

BC=V BD + D'C= V x^ — xax + a^+y\ Maintenant, le rapport de ^ C à BC étant donné , supposons qu'il soit comme celui de </ à « ; la proportion étant faite , et ensuite le produit des extrêmes et celui des moyens, nous aurons, e V x^ +y^ = d\/ x^ -~xax + a^ +y , ce qui donne en résolvant, y = y^Jlflril^UL x"^ , équation où Ton voit que x^ est négative , et n'a de coefficient que Tunité , et comme de plus l'angle ADC est droit , il s'en suit que la courbe oîi sont les lieux du point C est un cercle; et si l'on prend sur la droite AB les points £ et F, de manière qu'on ait la proportion d : e :: AE : BE :; A F : BF^ la droite EFsQXd, le diamètre du cercle (51).

Il est facile de voir par la converse de ce théorème, que si l'on prolonge jusqu'à l'infini le diamètre E F d'un cercle quelconque , et que sur ce diamètre ainsi prolongé , on prenne deux points A et B tels, qu'on ait toujours AE \ AF \\ BE : 5F, et que de ces deux points on mène à un même point C de la circonférence du

iço DE LA RÉSOLUTION

cercle les droites AC^ BC^ elles seront dans le même rapport que

AE et BE.