PROBLÊME XLIV

Décrire un cercle qui passe par un point donné ^ et touche Jeux droites données de position.

(PL V, Fig. 8 ). Soient, A le point donné, £F, FG les deux droites données de position, et AEG le cercle cherché qui touche les deux droites , et passe par le point donné A. Partagez par la moitié l'angle EFG^ par la droite FC; le centre du cercle se trouvera sur cette droite. Soit le point C ce centre, duquel vous abaisserez sur EF et F G les perpendiculaires CE , CG ^ et les points E etG seront les points de contingence. Actuellement comme les triangles CEF^ CGF ont leiu-s angles en £ et en (r droits^ et que leurs angles en F sont chacun la moitié de l'angle total EFG^ il s'en suit que tous les angles de ces deux triangles sont connus , et par conséquent aussi le rapport des côtés CF ox CE ou CG. Soit ce rapport , celui de ^ à <. Alors , si pour déterminer

le centre du cercle, on fait CF= x^ on aura, C£, ou CG^-^^

En outre, du point A menez sur la droite fC la perpendiculaire AH; et puisque le point A est donné, les droites AH et F H seront aussi données. Appelez respectivement ces deux droites a etb; et de FH ^ ou £, si vous retranchez FC^ ou jc, il restera CH^=% b — :ir; et si au qnarré de ce reste b^ — ibx + x^^ vous ajoutez le quarréde Aff^ ou «*, vous aurez, par la quarante-septième pro-

position du premier livre des Elémens, AH + CH^ ou a^ + b^ —

— % ibx + x^ :=s j4C ^ puisque par hypothèse l'angle AH C est droit.

Egalez maintenant entre elles les valeurs des deux rayons -^Cet CG^

ou les quarrés de ces mêmes valeurs , et vous aurez l'équation^ a^ + b^ — %Bx + x^= -^^. Retranchez de part et d'autre :r% et

changez tous les signes , il viendra ^ -^a^ ^ t^ + xhx = x^ î^.

Multipliez tout par ^, ensuite divisez tout par ^^ — e*, et vous

obtiendrez , x' 3»:r?" = — "^ ^^^^^ ^ * ^^ ^^ résolvant

^ t^»-^i/M.» + .3.>-^w> ^ Q^ ^^^^^^ j^^^ maintenant la

longueur de FC^ et par conséquent la position du point C qui est le centre du cercle cherché. Si on retranche la valeur de ji:, ou FC de *, ou HF, il restera, HC^ - e>^ + ^•^-.^ + ^'^' - f!il.

Equation absolument la même que celle que nous avons trouvée dans le problême précédent pour déterminer la longueur de DC.