Tome
Ce
PROBLÊME XLVL
Décrire un cercle qui passe par un point donné y touetu un cercle donnée ei une d^ohe donnée de^ position.
(PL VI, Figk 1 ). Soient, le cercle cherché BD^ son centre C^ le point par lequel il doit passer Bj la droite qu'il doit toucher ^Z>^ lé point de contact •■ avec cette droite D , le cercle qu'il doit toucher GEMy le centre de ce dernier cercle f, et le point de contact des deux cercles £• Joignez par des droites les points C, B; Ci D; Cj F; la droite CD sera perpendiculaire à AD , et CF coupera les deux cercles au point de contact E. Prolongez CD jusqu'en Q, de manière à avoir DQ=sEF; par le point Q menez k AD la parallèle QN. Enfin des points B et F abaissez sm AD et QN les perpendiculaires BA^ FNy et du point C abaissez sur AB et FN les perpendiculaires CKj CL. Les lignes BCj CD et AK étant égales, on a au^i, BK =: BA -- AK « BA — BC; Ainsi
BK=zBA — iBAxBC-^BC. Si l'on retranche 5x, ou sa valeur, de BCj il est clair que le^ reste sera la valeur de CKy par conséquent, Te— 57c, ou BC-^ ÏÏA+iBAxBC^BC=^CKy ou bien, iBAxBC — BAr=zCK. On trourefa dé la même manière que F Arx( iFC — FN)i:=sCL. De la première de ces
CK
deux équations on tire, iBCz=s —g^+ABy et de la seconde^
iFC= —• + FN. Ainsi appelant AB^ a; CK, y; FNy b; KLy c;
DES QUESTIONS GÉOMÉTRIQUES. 203 et CLj c — y^ nos deux équations deviendront respectivement, 25C= ^ +.a, ou 3BC^^ +iA, et FC == -îl=.^f±il + î *. De FC si on retranche ^B C, le reste sera , FE =
e»-^aY+y* ^^i, il — ifl. Maintenant qu'on appelle C, J/
et M les points oîi FN coupe la droite -<^Z? prolongée et le cercle CE 14; que l'on prolonge HG de manière que i/iÎ5=^5, jaloçs (à cmjse dcHNzzDQ=^EF=z^F) on a, cJ^A^= CF, et en ajoutant à chaque membre FH^ on aura, FNsnGH. Ainsi -^^ — FN=2ffR — C^ = (?/?; et ^5 — FiV + lEF = a — b + iEF=sRMf et ^tf — ^* + £F = ^/îiW. Or nous avons trouvé plus haut, EF=a ^ — '^^^+f* ^ 1 ^ yi ^a; substituons pour
EF sa valeur dans l'équation précédente, elle deviendra ^RMr^
^' "" Vf ^* "iT"* Appelez TÎAf , ^, et vous aurez
rf= Jl^zlfy+lL — -£-. Miritipliez tout par a et *, et il- viendra, abd = ac^ - lacy + ay -- by* ;queyous écrirez ainsi, (tf-*)>'*iacy=sabd — tfc*, qui devient , en divisant tout par a — ^ ,
y^ HH" ^^^ a^b^ ' ' ^^^^ équation étant résolue , donne ,
j.= -^ dr ^^**^-|^**^+i^. Si, pour abréger, on fait, c : b :: J : Cy et a — * : ^ :: c ;/, on aura,y =3/? — /c + i/y, ou y = f^^f^+/c — /i:. j', ou JCC, ou AD étant connu, portez de ^ vers D une quantité -^Z? =fàz V p ^ft — fc; au
CK
point Z> élevez la perpendiculaire DC^=l BC^=z -^-^^j^ -^'-AB ^
et du point C, comme centre, avec CB ou Cl?, comme rayon,
Ce 1
décrivez le cercle BDE ^ il passera par le point donné 5, touchera la droite -<^Z? en Z), et le cercle GEM en E. C. Q. F.T.
A l'aide de ce problème, il serait facile d'en résoudre un autre oîi il s'agirait de décrire un cercle qui touchât deux autres cercles donnés, et une droite donnée de position (P/. VI, Fig. 3).
En effet, soient les deux cercles donnés RT^ SV; leurs centres By F; et la droite donnée de position PQ. Du centre F, et d'un rayon égal à F S — BR^ décrivez le cercle E M. Du point B menez à la droite PQ la perpendiculaire PB que vous prolongerez vers ji ^ de manière à avoir Pj4 = BR. Par le point -^ menez u4 H parallèlement à P Q. Maintenant décrivez , par le problême précédent , un cercle qui, passant par le point 5, touche la droite j4H, et le .cercle E M, Soit C le centre du cercle que nous venons de décrire; tirez la droite BC qui rencontrera T/î en /î, et du même centre C avec un rayon égal à C/î, décrivez le cercle RS ^ il touchera les cercles RT ^ SV et la droite P Q , comme il est évident par la construction.
PROBLÊME XLVIL
Décrire un arclc qui passe par un point donné ^ et touclu deux autres cercles donnés de grandeur et de position.
(P/. VI, Fig. 4). Soient, le point donné ji ; les deux cercles donnés de grandeiu: et de position TIV^ RHS ; C et B leurs centres ; A I H le cercle cherché ; D son centre ; et enfin I et H ks points de contact des trois cercles. Unissez par des droites les points À^B ; Jl ^C ;A^ D; eîD^ B. La droite AB prolongée coupera le cercle RHS ^ en R et en S ^ et la droite AC prolongée coupera le cercle TIF en T et en V. Du point D abaissez sur AB Ir perpendiculaire DE; et du même point sur -^C la perpendiculaire
VF ^ qui rencontrera en G la droite AB. Menez aussi du point C
sur AB la perpendiculaire CK. Le triangle ADB donne AD —
DB + AB = xAE • AB (par la 13® prop. du 2®. liv. des Élém. ).
Mais DB =sAD + BR^ par conséquent, DB = ÂD-^zADx
BR'\' BR. Substituez cette valeur de DB dans l'équation précéda — 1 dente , et vous aurez A B — lAD . BR — B R = lAE. AB.
Mais Tb —BR = (AB + BR) x(AB ^ BR) = ARx AS.
Donc AR . AS — lAD .BR=xAE . AB. Et
AR. AS^ %AE .AB . j^ j^ = lAU.
Par un semblable raisonnement , on tirera du triangle ADC une seconde valeur de lAD^ et on aura, xAD= ^T^ - ^ v—'^^c .af
TC Dot. ^^«c^^„z>.,* ^R'^ S^%AB.AE AT.AF^%AC.AF
Far conséquent , ^^ = ^-^ ; et
„^__ ^AC . AF AT . AK AR . AS , nAB . AE .
encore, jr^ — yc Tr '^ Tr * ^^
r ^ r? CT f AT . AV AR . AS , ^AB . AE \ ^
enfin, AF= -^^j^ (^ j^j j^ — + j^ J. Or
comme on a la proportion AK : AC il AF i AG^on aura aussi,
^ r- CT r AT . A y AR , AS , ^AB , AE \ ^.
^ ^ TaTK Te Tr ^ IfR > ^^ ^^
retranche maintenant AG^ ou sa valeur de ^£, ou ce qui est la
même chose, de ^ X ^^^ , le reste sera
r F - ^^ f AIl-l2AE^ I ^^ > ^^ AT , AV xAB . AE "\
^^~ lAK [^ CT '^ BR ^Tc Tr J'
Et comme on a la proportion CK : AK :: CE : Z?£, on aura ,
-^^ "" icic V. 'cf * TR Te *" br y Sur la droite A B prenez une partie AP que vous déterminerez par cette proportion, BR : CT ;: AB : AP^ d'où vous tirerez
^AP . AE ^AB . A'E g^ \A? . AE (lAK^ iKP).AE .
— cf TU — • ^» — Tf — =* rr *
j iPK.AE lA'B.AE %AK . AE ^„ u;-w*
donc fY = g-jj cT ' ^^ '^^^^
iPK.AE ^AK . AE \AS . AE ., ^ ««^;^^ «,o«tkr-
^-= — = j-y — — -yg • Le premier -meniDre
de cette équation étant substitué à la .place du second dans l'expression de la râleur de 'DE , on aura
-, - CJ /AR.AS AT.AV ^PK.AE\ c..^
^^^Tnr C — Tr TE ZTT — > ^^^
et par le point Jj élevez une perpendiculaire,. dont la valeur. soit ,
JQ=i !^^^ ( — j^g Y^ — j. Sur cette • perpendiculaire
prenez Q O = ^^ck^ » ^ ^^^ ^\xr^ J = DE. Unissez par des droites, les points O, D; Z?, Q; et C, P; et les triangles D OQ^ CKP seront semblables; car ils ont chacun un angle droit, et les côtés autour de cet angle , proportionnels , puisqu'on a fait QO = ^^ç^^ > ce qui donne la proportion CK\PKv. A Ei ou DO \ QO, Donc les angles OQD^ KPC sont égaux, par conséquent, QD z une direction perpendiculaire à PC Si on mène donc à CP la parallèle AN^ la rencontre de cette droite avec QD au, point A^, y formera un angle droit -^ AT Q, et les triangles AQ^Nj PCK seront semblables. On aura donc PC : CK y. A Q : JN. Et
^ ^o,,^^ A^ jfn ^T r AR . AS AT . AV \
a cause de -<« Q = ^^^ l — y^g j^ — \ , on aura. . .
AX7 CT f AR . AS AT . AV \ ^ l J xi ' >
-« A^ == TFT* V. 51? fT — y* Prolongez -^Ar jusqu'en
M , de manière que AD es DM^ alors le cercle cherché passera
par le point M. Un point M du cercle étant trouvé de cette manière , voici comment on parviendra, sans aucune analyse ultérieure, à la
résolution: du problême, Prener siir AB une ligne j4P dont vous déterminerez la longueur par cette proportion, BR i CT \\ AB : AP ^ tirez la droite CP^ menez à CP la parallèle A M^ et faites,
A M : ^ ^^'/^ - ^ ^ff^' :; CT : PC; et par le moyen du
problême XLV, faites passer par les points -<^ et ilf le cercle A IHM^ de manière qu'il touche un des cercles HRSj TIV^ et il les touchera tous les deux. C . Q . F . T.
Par ce même problême on pourrait décrire un cercle qui en touchât trois autres donnés de grandeur et de position. Soient A ^ B y C les rayons des trois cercles donnés j D^ E y F leurs centres ; des centres E et F, avec des rayons respectivement égaux k BzhA ^ CdzA décrivez deux cercles , et un troisième qui passe par le point D, Soit G le rayon de ce troisième cercle, et H son centre. Du point H avec un rayon égal k G db A ^ décrivez un quatrième cercle , et il touchera les trois autres , comme on le demandait.
