PROBLÈME XLVIII

Si aux deux txtrimïtcs JCun fil DAEj qui peut glisser autour (Tun point fixe A ^ on attacht deux poids D et E; que tun des deux ^ par exemple Ey ne puisse glisser que selon la ligne oblique BG ; on demande le lieu du poids E\ lorsque ces deux poids se font équilibre.

(PI. VI, Fig. 5 ). Supposons que Téqullibre ait lieu. Par le point £, menez k AD h parallèle £F, et faites en sorte que Ef soit à AE comme le poids E est au poids D; et des points A et F menez à la droite BG les perpendiculaires AB^ FG ; et comme vous avez par hypothèse D : E \l AE i EF^ vous pourrez prendre à la place des poids , les lignes qui expriment leur

io8 DE LA RÉSOLUTION

rapport , c'est - à - dire j4E kla place du poids Z> , et iE F à la place du poids E. Il est évident que si le corps E était libre, son propre poids le ferait tomber vers F, mais qu'étant forcé par un obstacle quelconque de glisser suivant l'oblique EG^ il s'avancera vers le point G. On voit encore^ que le même corps, par l'action directe que l'autre corps D exerce sur lui selon j4E ^ devrait s'avancer vers le point j4 ; mais nous avons dit que le corps E ne pouvait suivre d'autre route que la droite GEB, donc il sera entraîné par une force oblique vers le point B. Or comme nous avons supposé que les deux poids se faisaient équilibre, la force qui tire le poids E vers B doit être égale et directement opposée à celle qui le porte vers G. Ainsi BE doit être égale k EG. Actuellement nous avons par hypothèse le rapport dQj4£kEFyCtk cause de Tangle connu FEG^ nous avons aussi le rapport de FE k EG ou à BE ( car BE = F G). On a donc le rapport de j4E à BE^ et la longueur de ^ ^ est aussi donnée ; ainsi dans le triangle rectangle j4B£ tout est connu , et par conséquent le point E sera facilement déterminé* En effet , soit AB =sa ^ B E =:x ^ vous

aurez, AE ^=z V a^ + x^. Supposez de plus que AE : BE :: d : e^

vous obtiendrez , cV a^ + x^ =idxj et en quarrant chaque membre et transposant d'un même côté toutes les quantités affectées de ;f , il viendra, art^=^d^x^ — t^x^ , d'où l'on tire facilement

X =5 --7=====- On connaît donc maintenant la longueur de BE

qui détermine le lieu du poids £. C • Q . F . T. (6i).

( P/. V I , Fi^. 6 )• Si chaque poids est obligé de descendre par une ligne oblique , voici de quelle manière on pourra faire le calcul. Soient CD ox BE \^% obliques sur lesquelles les deux corps sont

obligés

obligés de descendre. Du point fixe A^ menez à ces obliques les perpendiculaires ACy AB^ que vous prolongerez jusqu'à ce qu'elles rencontrent en & et en fl' les droites EG et DH^ élevées de chacun des deux corps Z> et £ perpendiculairement à Thorizon. Maintenant la force qui tend à faire descendre le corps E selon la verticale GE y ou ce qui revient au même , la gravité du corps E est à la force qui le f^t descendre selon Toblique BE^ comme GE est à -B£, et la force avec laquelle il tend à descendre selon la ligne oblique ^£, et à la force avec laquelle il tend le û\ AE comme BE est k AE. Ainsi la gravité du corps £ est à la tension du û\ AE comme GE est k AE. Par la même raison la gravité du corps D est à la tension du û\ DA comme HD est k AD. Soit donc la longueur totale du fil DA + AE zzcy soit la partie AE=iXy

l'autre partie DA sera C'-^x; et on aura d'abord, AE^^ ABz^BE , et AD^ÂC=3DC. Soit de plus ABzna^ et AC=ity d'oii BE = V x^ — 4% et CD=i y/ x^ — xcx + c"^ -- V". En outre, comme les triangles BEG^ CD H sont donnés d'espèce, supposons que BE : EG 2: /: £, et que CD : DH ;:/: g, on aura,

EG^ ^V x'' — a\ et DHz=z^\/ x''-^iucx^e — b\ Par conséquent , comme l'on a^GE : AE :: le poids £ : la tension AE^ et HD : AD :: \é poids D : la tension -^Z?, et que ces tensions sont égales , puisqu'il y a équilibre , on en conclura que

Ex . .— . .-. Dc-^Dx

= tension AEzz tension ADzz

Tomt /. D d

aïo DELARÉSOLUTION

Et en réduisant cette équation , elle devient •

gx y/ x^ — icx + c^ — A* s;=:(^Dc — Dx) V^ jc* — a* , ou bien...

Si Ton désire savoir dans quel cas le problême poiirrait être construit avec le seul secours de la règle et du compas, il n'y a qu'à supposer que le poids D ; au poids E :: -j^ : -75-37- ' alors on aura, g=3/>. Ainsi Téquation précédente se réduira à

celle-ci, .^ 12 \ •^* — xa^cx + a^^=io^ ou bien, jg=s- ^V^ -