Tome /• E e

zi8 DE LA RÉSOLUTION

2 V^ — y^ X — b. Pat conséquent comme ce temps est égal au temps de la chute du globe supérieur, on a cette équation, V a + X — b =i iV X — rx — b , ce qui nous donne , en quarrant chaque membre , a + x — ^= ^x — b — 4}/ x^ — bx. Ou bien , j^x — tf = 4 K jtr* — bxy et en quarrant de nouveau chaque membre, 16 x^ — Sax + a^ = 16 x^ — i6bx y ou bien a^ =z%ax — 16^:1:9 et en divisant tout par %a — 16^, on a, x =^ %a -^ i6b ' ^^^^^^ donc cette proportion, 8tf — i6b i a il a : x^ et vous connaîtrez , .r ou Q £. C . Q . F • T,

Mais si Q £ était donné , et qu'on demandât seulement de déter* miner la longueur du ûi P Q ou a; il est clair que dans ce cas, X étant connue, et a inconnue, l'équation a^s=zSax — 16 bx est du second degré; et qu'étant résolue selon les règles de l'algèbre, elle donne, a:=' 4X—V 16 a:* — 16 bx. Pour construire cette valeur de tf, prenez QV moyenne proportionnelle entre QD et QE^ et vous aurez P Q = 4EY. Car cette moyenne proportionnelle est

V X (jtr — ^), OU V x^ — bx. Si VOUS retranchez sa valeur de QJ? ou X , le reste sera £ T", dont le quadruple est 4 a: — 4 V x^ — bx\ valeur de a.

Si on donne QE ou a:, et la longueur du fil PQ ou a^ et qu'on cherche le point D , oii le globe supérieur , en descendant , rencontre le globe inférieur qui remonte; le point E est connu par cette supposition; c'est donc sa distance Z?£ ou ^ au point inconnu £>

DES QUESTIONS GÉOMÉTRIQUES. ii^

qiie Ton cherche. Or il est facile d'obtenir la valeur de b par Téquation tf* = 8tfr — i6txy qui donne , b = — ^"ï^i""* Faites donc la proportion i6x : Sx — a :i a : b j et vous connaîtrez b ou DE. Jusqu'ici j'ai supposé que les deux globes réunis par un fil sans pesanteur étaient abandonnés en même temps. Mais s'ils ne sont unis par aucun fil , et qu'on les laisse tomber à des instans difFérens , de manière que le globe supérieiu: A , par exemple , soit abandonné le premier, et tombe de l'espace PT avant qu'on abandonne le second globe, et qu'au moyen des distances données PT, QP et DE y on cherche à connaître la hauteur PF d'où a dû tomber le globe supérieiu- pour pouvoir être rencontré au point D par le globe inférieur; faites PQ = tf, DE=^by PT = Cy et Q£ = ;r, alors vous aurez , Pi? = tf + ;r — i, comme ci-dessus. Et les temps pendant lesquels le globe supérieur parcourra, en tombant, les espaces PT et TD , seront comme V PT ex V P D — \/ PT^ ou

V^c et V^ a + x — b — V^T; et le temps que le globe inférieur emploie , d'abord en tombant , et ensuite en remontant y pour parcourir la somme des espaces QE + DE ^ sera comme

2 V^ Q£ — V^ QD , ou bien , i V^ — V^ x — b. Maintenant , les

temps que les globes emploient à décrire , l'un l'espace TD , l'autre

la somme des espaces QE + ED , sont égaux par hypothèse. Donc

V^ a+x — b — \^T=3 xV X — V X — b. Et en quarrant chaque

membre, tf + i: — ^Vca+7x'^^^^ =^ ^x — j^y/ x^ — bx. Faites

a + c=ic^ et a — ^=/, vous aiuez , après les réductions • . . ,

iio D E L A R É s O L U T I O N

Ax — c + xV cf+cx=s4 V x^ — bx. Et en quarrant encore chaque membre, «^ - 8«:if + i6a:* + 4c/+4cx + ( i6x-4«) V^cZ+cxss i6;r* — \(>hx. Effacez de part et d'autre i6a:*, faites «* + 4c/=»x, et 8e — \(>b — 4c = /2, vous aurez , après les réductions convenables, ( i6.v — 4«) V cf+ ex =3nx — m. Et en quarrant encore chaque membre, l'jôcfx^ + 156 ex' — iiS ce fx — iiScex^ + lôce^f+iôcc^xsrsn^x^ — imnx + m^. Cette équation étant or-

donnée

+ i^6c/i —iiSccfi .jôceV Je, devient, i)6cx^ — ii8ce<ar*+ i6cc^ (x[^ ^/=a*

— n^ { + xmn \

En la constniisant , on aura jc ou Q£, et si à Q£ on ajoute les

distances données PQ et ££, ou Q/î, on aura la hauteur PF

qu'il fallait trouver.

PROBLÊME LIIL

Si on a deux globes en repos ; que U globe A soit plus élevé que le globe B^ quon les fasse tomber a des instans diffhens^ par exemple y que A ait déjà parcouru V espace PT^ au moment que B commenu â tomber: on demande de déurmirur Us lieux a et ^ où se trouvent les deux globes ^ lorsque leur dis^ tance tr x ^^^^ ^8^^^ ^ ^^^ quantité donnée»

(^Pl. VII, Fig. 3). Comme l'espace PT, et les distances PQ et -» X sont donnés , faites Pr=tf,PQ = i,et'w;)t^ = r;et l'espace P m que le globe supérieur aura parcouru avant d'arriver au lieu cherché ce , appelez-le x. Actuellement , les temps que le globe supérieur emploie à parcourir les espaces PT^P^^ Tn»^ ainsi que le temps que le

DES QUESTIONS GÉOMÉTRIQUES. m

globe inférieur emploie à. parcourir Qx9 sont entre eux respectivement comme / PT", VTZ , V/pl^ — V PT^ et V^l^. Or , comme les deux globes emploient le même temps à parcourir les espaces T'w et Q>:, il s'ensuit que V^ P ^ — V PT=i ^ Qx* Nous avons fait Pm=sx et PT=sa. Sih P^ nous ajoutons ^^x ou Cy et que de la somme nous retranchions PQ ou ^, le reste sera Qx = x + c — b. Donc en substituant ces valeurs analytiques dans réquation trouvée plus haut, elle deviendra V^ x — V^^ = y X + c — t. Et en quarrant chaque membre , x + a — xV ax=z X +c — t. Et en effaçant x de part et d'autre , et transposant seule dans l'autre membre la quantité affectée du radical, il viendra tf + i - c= 1 \^ axy et en quarrant de nouveau (^ + A - c)* = 4ax.' D'oïl X = ^""T" J"^^* -, et par conséquent 4a : a + i — c :: a + b — c : X. X ou Pv étant trouvée , on a le lieu a oh est arrivé en tombant le globe supérieur ^. Et comme la distance n^x qui doit se trouver dans cet instant entre les deux globes, est donnée ^ il s'en suit qu'on connaît aussi le lieu (3 du globe inférieiu".

Si on cherche le point oii le globe supérieur en tombant atteint le globe inférieur, il suffit, pour le trouver, de supposer que la dis* tance ^x ^^^ ^^ux globes est nulle, et par conséquent d'effacer c dans l'équation (a + b — c)* =34^:^, ce qui la réduirait à (tf 4. *)* = 4ax. D'où l'on tire la proportion 4a : a + b :i a + b : X (P*»), et le point m est celui qu'on cherchait.

Réciproquement, si on donne le point 4r ou x? ^^^ lequel le

globe supérieur rencontre Tinférieur , et qu'on demande le lieu T où se trouve le point le plus bas P du globe supérieur , ai^ moment que l'inférieur commence à tomber , il suffit de dégager a de l'équation (tf + i)^ = 4tfx, ou tf* + îtf i + ^* = 4tf^, et elle donne

4 = ix — b — 1 V x^ — bx. Prenez donc une moyenne proportionnelle y 'm entre x et x — i , ou bien ce qui est la même chose ,

entre Ptr et Qtr, et vous aurez F^z=, V x(^x-~b^:=iV x^ - bx. Et si vous retranchez le double de cette quantité de xx — * , ou de 1 P tr — P Q, c'est - à - dire , de iQtr+PQ, il restera. . . . PQ — iTQ, ou bien PF—FQ^ c'est-à-dire, PT.

Enfin le globe supérieur ayant choqué l'inférieur , et par leur action mutuelle, la vitesse du supérieur étant retardée, et celle de l'inférieur accélérée, si Ton veut savoir à quel point de leur chute les deux globes se trouveront éloignés l'un de l'autre, d'une distance donnée ; il faudra chercher d'abord le lieu oh le globe supérieur choque l'inférieur ; ensuite , connaissant la grandeur des globes ( sans quoi le problême serait insoluble) ainsi que leurs vitesses au moment du choc, on déterminera (^au moyen du problème XII, page io6) leurs vitesses immédiatement après le choc ; après quoi il faudra chercher à quelle hauteur parviendraient les globes en vertu de ces vitesses, si elles agissaient de bas en haut ; et on connaîtra par-là lés espaces , que , dans des temps donnés , après la réflexion , les deux globes seront en état de parcourir en tombant. On connaîtra donc la différence des espaces parcourus. Et réciproquement, si on donnait la différence des espaces parcourus , on pourrait , par l'analyse , revenir aux espaces mêmes parcourus en tombant.

( PL VII , Fig. 4 ). Supposons , par exemple , que le globe supérieur

atteigne l'inférieur au point «v y et qu'après la réflexion , la vitesse du supérieur en descendant soit telle y qu'elle pourrait lui faire remonter l'espace mN ; que la \atesse de l'inférieur en descendant soit aussi telle y qu'elle serait capable de lui faire parcourir en remontant, l'espace «v M. Actuellement, les temps que le globe A emploierait à parcourir de nouveau en descendant, les espaces N^y N Gy

ces temps, dis -je, seront entre eux comme V Nm est à V NG ; et les temps que le globe B emploierait à parcourir une seconde

fois , mais en descendant , les espaces iW ^r , MH^ seraient entre

eux, comme V M^ est à V MH; ainsi le temps que le globe supérieur emploierait à parcourir l'espace ^Gy serait au temps que

l'inférieur emploierait à parcourir l'espace m H^ comme

V NG — V N*m est à V MH — V M^. Supposez que ces temps soient égaux, et vous aurez V NG — V Nm = V MH — V M *9. Et comme d'ailleurs la distance G H est donnée , faites *» (7 + GH ^=i fmH. Et au moyen de ces deux équations , vous arriverez à la résolution du problême. En effet, soit Mm = ay N^=ity GH = c et *mG=^x^ on aura pour la dernière équation «jy=r

AT + c, et en ajoutant, de part et d'autre, Mmy'A viendra

m H'+ Mm y ou iW ^ = tf + tf + a:. Et en ajoutant Nm k mG y on aura , A^ <? = ^ + j: ; et en substituant toutes ces valeurs analytiques à la place des lignes qu'elles représentent, l'équation V N G-^V N m^

s/IlH— VliZ, devient V b + x — Vlz=: V a + c + x — V^. Mettez c pour tf + c , et V^ pour V^ ^V by et l'équation §era

214 DELARÉSOLUTION

réduite à V i + x = V c + x — //, et en quarrant tout; b + x-c-^x +/- 1 V cf+fxy ou bien t+f-b- i V ef+fx. Faites g = « +/ — *, et en substituant , il viendra, g= i VT^T/^ , ou en quarrant, ^ =ij^tf -^^ ^fx ; d'où Ton tire, a; = -^7 ^.