PROBLÊME LIV
Si Von a deux globes A et B ^ dont U supineur A^ tombant du point G f rencontre Finférieur B au moment quil remonu 9 aprh avoir itc réfléchi par U fond H ; si ces deux globes y après s* être choqués ^ se séparent de nouveau , de manière que le globe supérieur remonu à sa ' première hauteur G ^ dans le mime temps que Pinférieur est renvoyé contre le fond H ; ensuite que le globe A retombant encore y tandis que U globe B remonte après avoir été réfléchi par le fond y ces deux globes se choqiuru une seconde fois au mime lieu que la première ^ et quils continuent ainsi â se choquer sans cesse et à retourner toujours au mime point d*où ils étaient partis ; il s* agit y connaissant la grandeur des deux globes , la posidon du fond y et celle du point G y £où le globe supérieur est tombé y il s^agjty
diS'je y de déterminer le lieu où les deux globes se choqueront.
(^Pl, VII, Fig. 5 ). Soient, e le centre du globe. -^, et /celui du globe B; d le centre du lieu G y oii le globe ^ est à sa plus grande hauteur ; g le centre du globe B lorsqu'il touche le fond ; a le demi - diamètre du globe A; b le demi -diamètre du globe B; c le point de contact des deux globes lorsqu'ils se choquent, et H le point de contact du globe inférieur et du fond, La vîtçsse du globe A y lorsqu'il arrivera sur le globe jff, sera celle qu'il aura acquise en tombant de la hauteur dcy ainsi cette vitesse sera comme )/ de. Il faut que le globe A conserve cette même vitesse
après
après le choc, pour remonter au lieu G d'où il était parti. Et te globe B doit être repoussé vers le bas avec une vitesse égale à celle qui le faisait monter , afin qu'il puisse retourner contre le fond dans un temps égal à celui qu'il avait mis à s^cn éloigner* Et pour que ces deux cas arrivent, il faut que les quantités de mouvement soient égales. Or la quantité de mouvement des globes s'évalue en multipliant leur masse par leur vitesse. Ainsi dans le cas présent, il faut que le produit de la masse du globe A^ par sa vitesse , soit égal au produit de la masse du globe B par la \atesse du même B. D'où on voit que , si l'on divise le produit de la masse par la vitesse du premier globe , par la masse du secîond , le quotient sera la \atesse du second, tant avant qu'après la réflexion; ou si vous voulez, pour le moment où il va cesser de monter, et pour celui où il commence à descendre. Cette vitesse sera donc comme
-^-^^. Ou bien, les globes étant comme les cubes de leurs rayons,
cette vitesse sera représentée par -flJ^l^- Et le quarré de cette
vitesse de B est au quarré de la vitesse de A immédiatement avant le choc , comme la hauteur à laquelle s'élèverait B , s'il n'était pas rencontré et anêté par A y est k la hauteur de y d'où le globe A
est descendu. C'est-à-dire qu'on a cette proportion, — -^^ \ dt \\
h : dt (*) ( tn appelant h la hamcur à laquelle s^i&verait By s*U
(*) Cette proportion n'est que la traduction analytique de ce théorème bien connu de mécanique : que dans la chute des corps graves , les quarrés des vitesses sont comme les espaces parcourus ; ainsi le second terme de cette proportion qui devrait être le quarré de la vitesse de A avant le choc, n'est que Tespace que le corps A a parcouru avant le choc. Mais l'un peut être mis au Tome /. . f *
ii6 DE LA RÉSOLUTION
ficelait pas rencontré par ^) ou bien, en nous servant de la dernière
expression de la vitesse de -S, -^-p^ : de :: h : ^is ou ;c (en appelant
X le dernier terme de) ou bien ^a^\b^\\ A : ^ , ce qui donne , h = -^ -
Telle est Texpression de la hauteur à laquelle s'élèverait B^ s'il n'était pas arrêté dans son ascension. Supposons que cette hauteur soit /X. Ajoutez à /A la quantité /g', ou.dH — de — ef — gJIy ou p — ;c , en appelant/? la quantité donnée dH — ef — gH^ et x la
quantité inconnue de , et vous aurez , Kg z=: -^ x -{- p — x.
Actuellement si le globe B tombait réellement du point K jusqu'au fond, ou si son centre décrivait l'espace X^( ce qu'il ferait sans la rencontre du globe -/^ ) la vitesse de ce globe B serait exprimée par
y -fi^ -f-/? — AT. Mais ce globe ne tombe en effet que du lieu
Bcf jusqu'au fohd, dans le même temps que le globe j4 s'élève du lieu j4ce jusqu'au point ^, ou qu'il descend du point d au lieu jice. Or dans la chute des corps graves, les accroissëmens des vitesses sont égaux quand le temps de la chiite est égal. Par conséquent le degré de vitesse qu'acquiert le globe B en tombant vers le fond, est égal au degré de vitesse qu'acquiert le globe j4 qui tombe dans le même temps de d en e; ou même encore, égal au degré de vitesse xjue perd le globe j4 en remontant de ^ en d^
lieu de l'autre, d'après le théorème que nous venons de rapporter. Au reste, remarquée bien qu'on ne met au second terme l'espace parcouru par A, slu lieu du quarré de sa vitesse, que parce que le quatrième terme représente aussi on espace , sans quoi on comparerait ensemble des choses hétérogènes, ce qui serait
absurde.
toujours dans le même temps. Ainsi, à la vitesse qu'avait déjà le globe B dans le lieu Bcf^ ajoutez la vitesse du globe ji parvenu au lieu ^cc^^ et la somme de ces deux vitesses, qui est comme
t/77-l- «fl^ , ou bien comme V^ jc + -fL-JL , sera la vitesse totale du globe B lorsqu'il frappe sur le fond. Or , V^ x + -^-jr^
doit être égale à y ^^ -f /> - x (*). A la place de "^"j^^^ , écrivez -j- , et à la place de "^^^^ , écrivez -^ , et l'équation deviendra ,
~ y/ x^=^Y "^ + P* E* ^^ quarrant chaque membre , —^
-—- +pj équation que Von peut ordonner ainsi, f-^ — •^jxszp;
d'où l'on tire, x =3 - ^^Sn ' ^^^^ équation aurait été plus simple,
si au lieu de prendre -^ pour -^-^ — y on eût pris -^ , car on aurait
eu , :c = ■ ^ . D'où Ton voit qua a: ou ^^ se détermine en faisant '
cette proportion, p — t : s il s : x ou de. Maintenant si à Je on
(*) Il est d'abord évident que le globe B en tombant du Heu Bcf jusqu'au fond , acquiert^ la même vitesse que le globe A qui tombe dans le même temps de G en w4 ce, et cette vitesse est représentée par y de. En outre, sans la ren-
contre de -<^ , le globe B aurait encore parcouru l'espace A , ou fK = — 7^ — , ce qui suppose une vitesse r, — . Donc enfin la "rftesse totale de B est
y de + -^— jr~* O" bîea ï/« + Y "^ * + p — * ; mais, sans la rencontre de A^ le globe B aurait réellement parcouru tout l'espace ^K ^ ce qui
suppose une vitesse ^.f-iL-^^ — x. Donc enfin* ••••••••••••••••••••
Ff 1
i%9 DE LA RÉSOLUTION
ajoute te y on aura de y et par conséquent le point e, oii les deux globes se choqueront mutuellement. C. Q. F. T.
