PROBLÈMES RELATIFS AUX SURFACES

Inscrire dans un cercle un Hexagone régulier.

Soit le cercle A B D E F. On le divise en six, en portant six fois sur sa circonférence le rayon C A (fig r 9.). Ces cordes

i6 wctiows géométriques#

A B, B D, etc. sont les côtés de l’hexagoner On a les côtés du triangle équilatéral , en joignant deux à deux les sommets de l’hexagone. On aurait le décagone inscrit en divisant en deux les ares A B , B D-, etc. , et en menant les. côrdes correspondant à ces moitiés.

Inscrire dans un cercle un Carré et un

- j / r « ’ ; Octogone. : . .

Pour inscrire un carré dans un cercle ( fîg. io ) , il suffit de tirer dans ce cercle deux diamètres perpendiculaires , et dé joindre lés extrémités de ces diamètres.

On inscrit l’octogone en divisant en deux les arcs À B, B Ç, etc., et en tirant les cordes correspondantes AE, EB, B F, etc*

Mesure du Carré , du Rectangle et du Parallélogramme.

La surface du carré se mesure en mul- • tipliant un' de ses côtés par lui -même.

Celle du rectangle, en multipliant le côté oui sert de base par celui que l’on considère comme représentant la hauteur ; et celle dû parallélogramme en multipliant également le côté qui sert de base, non pas par l’autre côté, maU

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pOTiOKa .GÉOMÉTRIQUES. 1 7

par la perpendiculaire menée entre la case et le côté parallèle opposé. Cette perpendiculaire est la hauteur du parallélogramme. . ' *

Mesure de la Surface des Triangles , des Polygones réguliers et irréguliers , et du Cercle. , . •

On obtient la surface d’un triangle en multipliant le côté qui lui sert debase

S ar la moitié de sa hauteur. La hauteur ’un triangle est la perpendiculâirè abaissée d’un angle sur le côté opposé qui sert de base , ou sur son prolonge-r ment. Cette mesure ne doit pas surprendre, parce aue tout triangle est moitié d’un parallélogramme de même base et de même hauteur.

Pour avoir la surface des polygones irréguliers , on prend successivement celle des divers triangles que l’on peut former dans le polygone, et on ajoute toutes ces mesures. Leur somme est celle du polygone irrégulier..

Dans les polygones réguliers , que l’on peut décomposer en triangles égaux ayant leur sommet au centre, et pour base les divers côtés du polygone , on se

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1 8 «OTIONS GÉOMÉTRIQUES.

contente, pour avoir leur surface, de multiplier leur contour ou périmètre par la moitié de la perpendiculaire abaissée du centre sur un de leurs côtés , ou , en d’autres termes , par la moitié du rayon du cercle inscrit.

Le cercle pouvant être considéré comme un polygone d’un nombre infini de côtés, on a sa mesure en multipliant sa circonférence par la moitié de son rayon.

Gette mesure n’est cju’une approximation , parce qu’il n’y a pas, dans la réalité , de mesure commune entre une ligne droite et une ligne courbe ; mais dans les calculs ordinaires , cette approximation suffit, et lorsque l’on représente le diamètre par i oo , ojn peut représenter sans inconvénient la circonférence par 3 1 4 Ainsi, lorsque l’on voudra mesurer la surface d’un cercle ayant 6o pieds de diamètre, on dira la circonférence de ce cercle est 6o , multiplié par 3i4, ou 188 pieds. Sa surface est donc 188 multiplié par i5 , moitié du rayon, ou 2,820 pieds carrés»

NOTIONS GÉOMÉTRIQUES. 19 Mesure du Trapèze . •

Pour mesurer le trapèze on ajoute les deux cotés parallèles et on multiplie leur demi-somme par la hauteur du trapèze. Ainsi , si l’un des deux côtés parallèles était i5,' l’autre 1 1 , et la hauteur 4> la surface serait 52.

Des Surfaces semblables.

Les figures polygones semblables sont entre elles comme le carré de leurs côtés homologues, et les cercles comme le carré de leurs rayons ou diamètres. De là , lorsque l’on connaît la surface d'une figure , on peut déduire immédiatement celle de la figure semblable dont on connaît un côté homologue , en disant :

le carré du côté de la première, est au carré du côté homologue de la seconde , comme la surface de la première est à la surface de la seconde. Les trois premiers termes de cette proportion étant connus, on en déduit le quatrième, en divisant par le premier le produit du second, multiplié par le troisième. On entend par côtés homologues , des côtés

semblablement placés dans des figures semblables. • • • *

Si les surfaces sont entre elles comme ' le* carrés des côtés homologues , les p érim êtres- ou contours sont dans le même rapport que *ces côtés. Ainsi la figuré dont un coté est double du côté homologue d’une figute semblable a uii périmètre double du périmètre de celle-ci^ Ainsi, un cercle dont le rayon est double ou triple de celui d’un autre cercle, a aussi une circonférence double ou triple.

Surface convexe des Prismes , Cylin -»■ dre s y Pyramides , Cônes.

La surface convexe des prismes . et cylindres s’obtient en multipliant la longueur de leur axe par le contour du polygone ou du cercle formé par le plan qui couperait le prisme ou le cylindre à angle droit. ,

Pour avoir la surface convexe de la pyramide , on ajoute la surface de tous les triangles dont elle est formée ; et pour avoir celle du cône, on multiplie la circonférence de sa base par la moitié de sçn côté , lorsque le cône dont il s’a-* git est droit,et par la moitié de la somme

NOfclQN* GÉOMÉTRIQUES/ 21

de son plus grand et de son plus petit côté* lorsqu’il est oblique. Le cône est dit droit , lorsque la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base , tombe au centre de cette base.

Mesure de la Surface de la Sphère.

'• La surface de la sphère s’obtient en multipliant son diamètre par la circonférence d’un de ses grands cercles. On appelle grands cercles , dans, une sphère , tous les cercles formés par des plans passant par le centre. Dans une même sphère , tous les grands cercles sont égaux. '