Calcul des phases d'une éclipse de Lune. — Une
éclipse étant reconnue possible pour une opposition, on prend dans les Tables les ascensions droites et les déclinaisons du Soleil et de la Lune. d*heure en heure, avant et après cette opposition, 6t l'on détermine les mouvements horaires de ces astres en ascension droite et déclinaison. Soient jx et v ceux du Soleil, [L et v' ceux de la Lune. Posons :
• Le mouvement du Soleil est le même que celui de l'ombre; les coordonnées <lu centre de l'ombre sont:
180*» -f- ^1,0 et — (Ô0.
A un moment quelconque t voisin de l'opposition, où les coordonnées des centres de l'ombre etdelaLunesontJUetCD, X' et CD', la distance d des centres est donnée par la formule:
cos cf = sin (D sin (D' -f- cos (D cos (D' cos {X' — JC),
CALCUL DES PHASES d'uNE ÉCLIPSE DE LUNE 317
OU bien
1 — 2 sin * - = C08 ((£)'— (D) — 2 cos CD cos CD' sin^ - (X'~oiU,) 1 — 28in2-=l—2sin«-((Ê) — (©)--2cos(Dcos(D'sin2-(.V— cA.);
- ou avec une approximation suffisante puisque les angles sont très petits :
ciP = (OO' — (D)* — cos 2 (D. {X' — X *),
équation qui se déduirait immédiatement du petit triangle rectangle SAL [fig, 103).
Flg. 103.
A une autre époque, ^ -j- t, la distance d des centres, sera :
rfa = ((ô' — (D + nx) î> — cos» (D' (Jlo' — X + mt)»
équation du second degré qui donnera les valeurs de t, correspondantes à des distances données des deux centres. On donnera à d, dans cette formule, les valeurs suivantes :
pour le premier contact avecla pénombre rf=ôD-|-2D'-|-i74*ci' ;
pour le contact intérieur d=^U^'W-\-T:s-\-n ;
pour le contact extérieur avec l'ombre ch=-D' — âD+cy-{-i7';
pour le contact intérieur d=z — ^t^' — ôD-^-ci-f-cr'.
A chacune de ces distances répondent deux valeurs de t (premier et deuxième contact intérieur, etc.). La valeur de ef qui rend les deux racines égales répond au milieu de Téclipse et en détermine la grandeur.
Le calcul de l'équation du second degré serait très incommode. Pour le faciliter, on remarque que la valeur de cP est la somme de deux carrés. On peut donc écrire :
c^cos a = CD' — (D + n T,
rf sina = coscô'. (JL' — <^) -f- ni cos(D. t,
équations en t et a qui se déduiraient immédiatement du triangle SAL. L'angle a est donc LSA.
Pour résoudre, on pose :
cô' — cô = a cosA,
cos CD'. (JU' — cl,) = a sin A,
n= b cos B,
m cos (Q' =z b sin B,
A et B étant plus petits que 90°.
On a alors :
d cos a = a cos A -f- i cos B.t, c^ sin oc = a sin A -|- ^ sin B.t,
CALCUL DES PHASES d'uNë ÉCUPSE DE LUNE 319
d'où :
d sin (B — a j = a cos (B — A), d cos(B — a) = a cos (B — A) + ^»
et par suite :
. ^ . a sin (B — A) 8in (B -— a) = ^ ■>
___ d cos (B — g) a cos (B — A)
B — a donné par son sinus a deux valeurs supplémentaires Tune de Fautre ; il y a donc deux valeurs de t pour chaque valeur de d.
Si B — a = 90*», les deux valeurs de t sont égales et donnent Tépoque du milieu de Féclipse. On a alors:
Tm = — rCOs(B— A),
t,n= t-- r cos (B — A),
et la distance correspondante des centres, qui est la distance minima, est :
dm = a sin(B — A).
dm doit être pris positif.
Si Ton prend pour unité le diamètre de la Lune D', la grandeur A de Téclipse sera :
. d — dm
e/étantle rayon de Tombre augmenté de celui de la Lune ou la valeur de d qui répond au contact extérieur.
Enfin la ligne SL étant la ligne des centres, le contact a toujours lieu sur cette ligne et la position du point de contact est donnée sur le contour de la Lune, à partir du point Nord, parTangie PLS, qu'on peut considérer comme le supplément de a ou PSL. Les deux valeurs de a donnent les poinls du limbe où ont lieu les contacts.
On simplifierait encore les calculs en partant du moment de l'opposition déterminé par les relations :
-A,' — -L -|- mxc = o
t + rc = fc
On peut aussi faire les calculs en employant les longitudes et les latitudes.
121. Influence de Fatmosphère terrestre sur les éclipses de Lune. — 1"* La réfraction par Tatmosphère fait que des rayons de lumière pénètrent dans le cône d*ombre géométrique. La Lune pendant les éclipses totales est éclairée d'une lumière rougcAlre. La réfraction horizontale est d'environ 33' ; il s'ensuit que le rayon qui émerge de l'atmosphère fait avec le rayon incident un angle d'un degré à peu près. L'angle au sommet du cône d'ombre est donc <p -j- 1**, ce qui réduit à 42 r la longueur de ce cône.
2** L'absorption des rayons du Soleil par les régions basses de l'atmosphère terresire produit le même effet qu'une augmentation du diamètre de la Terre. Il en résulte que le rayon R du disque de l'ombre doit être pris plus grand dans le rapport de 64 à 60.
Tous ces effets varient d'ailleurs avec l'état de l'atmosphère.
