ÉQUATORIAL
il n'y resterait point par suite des flexions qu'il subit, étant inégalement chargé à ses extrémités. Il en est de même du deuxième axe, qui, de plus, n*est jamais rigoureusement perpendiculaire au premier. G est, au contraire, en se fondant sur les lois du mouvement diurne, qu*on peut faire les corrections de rinstrument.
Mais on peut, avec Téquatorial, suivre une étoile dans le ciel par un simple mouvement de rotation de Taxe polaire; c'est là le principal avantage de cet appareil, et cette propriété, qui permet les observations prolongées, le rend fort utile pour les éludes de Physique Céleste. Un mouvement d*horlogerie, muni d*un régulateur de Foucault, est logé dans le pied de Tinstrument ; il communique à Taxe polaire un mouvement de rotation égal au mouvement diurne et Tétoile visée reste alors constamment dans le champ de la lunette.
Hais réquatorial n*cst pas un instrument propre à la détermination des positions absolues des étoiles.
31. Coordonnées uranographiques. — Les étoiles se mouvant tout d*une pièce avec la sphère céleste, elles auront des coordonnées absolument fixes par rapport à un système d*axes se déplaçant avec elle. Le système qui réalise ces conditions a encore pour axe Taxe polaire et pour plan fondamental le plan de Téquateur. Le plan origine est un cercle de déclinaison ou méridien céleste arbitraire ; nous choisirons, par exemple, le méridien passant par a de TAigle . Les coordonnées de Tétoile sont alors sa distance polaire $ ou sa déclinaison (£) et son ascension droite a, qui est Tangle du méridien de Tétoile avec le méridien origine, compté de 0** à SôO** en sens contraire du mouvement diurne.
L'horloge sidérale marquant C* 0"* 0' quand le méridien céleste origine coïncide avec le méridien du lieu, Theure du passage d*une étoile à ce méridien est son ascension droite en temps. La détermination de Tascension droite et de la déclinaisoD des étoiles fixera leur position dans le ciel d'une manière absolamenl indépendante du lieu de Tobservation, et un Catalogue donnant ces coordonnées servira en tous les points de la terre.
82. Transformation des coordonnées* — On a fréquemment besoin de transformer les uns dans les autres les trois systèmes de coordonnées : azimut et distance zénitald» mesurés par le théodolite; distance polaire et angle horaire mesurés par Téquatorial ; distance polaire et ascension droite
données par les catalogues.
Toutes ces transformations se ramènent à la résolution du triangle PZS {fig, 44) dit triangle de position; ses sommets sont le pôle P, le zénit Z et Tétoile S ; ses côtés:
la colatitude X, la distance zénitale z, la distance polaire 9 ; ses angles: Tangle horaire H, le supplément de Tazimut A et Tangle parallactique tc.
!• Etant donnés z et A, calculer $, H et a.
On a les trois formules :
cos $ = cosz cos X — sin -3' sin X cos A sin 9 cos H = cos^ sin X -{- sin -y cos X cos A sin $ sin H = sin z sin A
Flg. 44.
On pose, comme nous l'avons déjà vu (6) :
cos ^ =3 m cos <p 8\nz cos A = m sin (p
et les formules deviennent :
cos $ = m eos((p + X) sin$ cosH = m sin (çp + ^) sin $ sin H = sin^ sin A.
On en 'déduit:
^^ tg((p + ^) sin^rsinA ^ cos H m sin H cos (f -{- X)
. „ sin z sin A tgH =
m sin (<p -|- X)
avec:
cos^ sin^ cos A
cos ç sin f
tgçp = igz cosA
On connatt d'ailleurs la signiBcation géométrique de 9 et de m; cp est la projection ZD de ZS sur PZ prolongé, et m est égal au cosinus de SD (6).
Le calcul ne présente aucune ambiguïté, car tous les éléments m, cp, $ et H sont donnés par leurs sinus et cosinus. D'ailleurs H a le même signe que A, puisqu'il est compté du même côté du méridien. Si l'on désigne par l'heure marquée par l'horloge sidérale au moment de l'observation, on a :
d'où:
formule qui permet de déduire a de H.
Ce problème sert, en astronomie, à trouver Theure en un lieu de colatitude X, le méridien étant connu. Il permet en effet de calculer H après avoir déterminé ^ et A au théodolite et avec un chronomètre non réglé sur l'heure du lieu ; si Tascension droite a de l'étoile est connue par les Catalogues, Téquation
donne Theure sidérale 6, au moyen de laquelle on peut régler le chronomètre.
â"" Étant donnés a et 9, lus dans un Catalogue, trouver les coordonnées équatoriales et azimutales en un lieu de colatitude 1 à une heure sidérale donnée.
étant l'heure sidérale, on calcule d'abord H par la formule
H=:ô — a $ et H étant connus, on considère les trois équations :
C08 ^ = C08 X cos $ -f- 8^" ^ sin 9 cosH — sinzcosA = C08Ï sin X — sin* cosX cosH «in ^ sin A = sin $ sin H.
On pose :
cos^ = m cos^ sin 9 cos H = m sin ^.
On a alors ;
cos z z= m cos(X — <p) — sin z cos A = m sin (X — çp) sin -^ sin A = sin 9 sin H
d'où:
^ C08 A m sin A cos (X — 9)
^ . sin $ sin H
tgA =
m sin (X — ç)
avec :
tg ç = Ig $ cos H
cos 9 sin $ cos H m = = : •
cos ff sin 9
La signification géométrique de «p et m est simple; puisqu'on a :
tg9 = ig9 cosH
^ est la projection PD de 9 sur PZ. De plus, dans le triangle PDS, on a :
cos $ = cos SD cos îp
m est donc le cosinus de SD.
Le problème ne présente pas d*ambiguité.
Cette conversion de a et $ en ^ et A servira :
1® A préparer en un lieu donné, l'observation au théodolite d*un astre dont les Catalogues donnent Tascension droite et la distance polaire ;
â^" A calculer z pour un astre observé à Téquatorial dans un plan horaire connu. On en déduira la réfraction comme il sera dit plus loin. Il faut calculer z sans avoir recours à A. La formule
cos z = m cos (X — <p) servira à cette détermination.
COUBi D*A8TR0:C0MIB. 7
38. Application. — Un voyageur, muni d'un théodolite ou d'un sextant, veut déterminer Theure et la latitude de sa station. Ce problème revient au suivant : Étant donnés a et 9 pour un astre connu, on observe la distance . zénitale et Tazimut de cet astre à des heures données par un chronomètre; en déduire le méridien, la latitude du lieu et l'heure locale (sidérale) de chaque observation. Si le chronomètre donne Theure du premier méridien (Paris), on conclut de lài la longitude du lieu.
Première solution. — Méthode des hauteurs correspondantes . •^- On observe une étoile avant son passage au méridien et près de ce méridien. On lit Tazimut A compté à partir du zéra de l'instrument et l'heure h du chronomètre. On fait de même de l'autre .côté du méridien quand la distance zénitale est redevenue la même. Soient A' et h les nouvelles lectures ,
— ^Ç — sera, sur le limbe, la direction du méridien, — ^Ç —
l'heure du passage au méridien. Gomme a serait l'heure du passage si le chronomètre marquait l'heure sidérale du lieu»
a Y — ^^^^ ^^ correction du chronomètre.
On détermine ensuite la distance zénitale z d'une étoile au moment de son passage au méridien. 9 — z sera alors la colatitude du lieu, z étant affecté du signe -{-ou — suivant que l'étoile passera au nord ou au sud du zénit.
Deuxième solution, — On observe à une heure donnée du chronomètre la distance zénitale d'une étoile connue. Les trois équations relatives au triangle PZS {/îg. 45) permettraient d'éliminer A et de calculer X et H. Hais il vaut mieux calculer séparément chacune de ces deux inconnues en sup-
posaQt Tautre approximativemenl connue, à la condition de faire l'observation de telle façon que Terreur commise n'ait que l'influence la plus petite possible sur la valeur cherchée. Déterminons ces conditions. A cet eflet différentions l'équation : pj^ ^^
cos -3- = cos $ C05 X -f- sin X sin 9 cos H
il vient :
— sin^.8^=— (sinXco3^-[~cosXsin$cosH)5X— sinXsinÇsinH.SH — sin z. Zz = sin z cos A.8X — sin z sin A sin X.8H
De cette dernière égalité on déduit ;
hz
sinXsinA ' sinXtgA
L'influence sur H d'une erreur 8X sera nulle si A = 90** ou 270*. On doit donc observer l'étoile dans le premier vertical; L'influence de hz sera minima pour la môme valeur de A.
5X=sinXtgA.8H +
hz cos A
L'influence de SH sur SX sera nulle si tg A = ou A = G * On doit donc observer l'étoile dans le méridien du lieu ou très près de ce méridien.
En observant dans ces conditions, on aura :
cos H =
cosz — cos X cos $ sin X sin 9
Ou bien encore, en posant :
, H Ain(j) - » sin(p ~ <£)
^2 V sinp gin(p — z)
De méme^ en posant :
cos ^ = m sin <p sin 9 cos H = w sin H
on tibtieril:
cos 3? ^ m (cosX sin cp + sin a cos^) = m sin (<p + ^)
ou bien encore
. , , .V cos^ sin (cp + X) =
On pourra donc calculer {j» + X au moyen de cette formule et par suite X.
Mais l'observation étant faite très près Ju méridien, H est très petiLS'il était nul, on aurait:
^m désignant la distance zénitale de Tétoile lors du passage au méridien.
Posons :
Z = Zm + t
La correction e sera très petite. On aura donc : cos ^ = cos ar^ — e sîn z„i = cos X cos $ + sin X sin 9 cos H
TRANSFORMATION DES COORDONNÉES iOi
OU bien encore :
cos
z=cos(<J?— X) — âsinXsinîsin» ^
cos z = coszm — 2 sin X sin * sin * r-
Donc:
« sin 4-^ = â sin X sin ff sin * —
2 sinXsin* , ,H
c = : sin • -
sinz 2
La valeur de t, exprimée en secondes, sera par suite:
a^a^^ , 2 sin X sin ^ . , H
c = 2Udzo5 • : sin ' â
smz z
test la réduction au méridien. On la calcule avec trois ou quatre décimales au moyen des valeurs approchées de X et de H , et» en la retranchant du z observé, on aura z^ qui donnera X par la formul**.
On pourra ensuite si Ton veut, calculer de nouveau H avec cette valeur de X, puis X avec la nouvelle valeur de H, mais ce sera toujours inutile.
84. Mesure d'une distance zénitale. — Jusqu'à présent nous ne savons pas faire la mesure d*une distance zénitale. Nous avons vu que la méthode du retournement (20) supposait le point visé immobile. Hais une étoile se déplace et sa distance zénitale change. Les deux positions répondent donc à des hauteurs différentes. Le calcul va nous conduire an résultat.
lOi C00RD01«I«ÉES Qll SE DÉDUISENT DU MOUVEMENT DIURNE
Désignons par ^ et C les deux lectures faites aux époques t et i, Z le point zénital du cercle, jt = Ç — Z et ^' == Z — C les distances zénitales correspondantes, z^ la
t + 1' distance zénitale à Tépoque moyenne — ^ = tm' On aura :
De même pour la lecture faite après retournement :
Or:
Donc en ajoutant membre à membre les égalités (1) et (S), il vient :
La valeur de Xm en secondes sera par suite :
Si donc on connaissait -^9 on pourrait calculer x^.
Pour déterminer ce coefficient, considérons le triangle PZS (/f^. 46); il donne:
C0S4' = cosX co8$ + sin X sin 9 cosH.
MESURE d'une DISTANCE ZÉNITALE
En différentiant cette égalité par rapport au temps ^ et re* marquant que (fH = cb, il vient :
-TT = sin X sin A = gin $ sin^r.
dU
Par suite :
--TA = Wû A C08 A -r" dfi dt
Mais de la formule :
sin z sin A = bin 9 sin H on déduit:
Pig. 46.
Donc:
. c?A smÇ .
COS A -1- = -: COS TT cos A
dt smjr
d^x sin X sin 9 cos tt cos A
dfi sinjr
En portant cette valeur de -ri dans l'expression de x^^ on conclut :
1 .y y^ 1 sinXsingcosn cosA , ^^ '«'m — S Iv — ; ) — 5 -r— (^1 — ty
smx
On calcule A et ic par les analogies des sinus, en prenant pour^ la valeur moyenne —-^^ — des deux distances zénîtales.
• A sm^ . ^ sin A = -: — sm 9
%\XÏX
sm^ • .
smw =-: — smX sm^
Mais ( — —\ est une quantité très petite ; on peut donc la
remplacer par son sinus (*) et Ton obtient finalement pour valeur de Jm exprimée en secondes :
