DÉTERMINATION DES DIRECTIONS

représente le plan fondamental œOi/ et dont l'autre G a son diamètre 0^, 180^ perpendiculaire au plan du cercle G et est mobile autour de ce diamètre.

8. Problème général de la transformation des coordonnées. — Le problème que Ton a le plus fréquemment k résoudre en astronomie est celui de la transformation des coordonnées. Dans cette transformation, on conserve en général le plan méridien origine zOœ [fig. 3); Taxe Qz et le

PIg. 3.

plan fondamental yO^ tournent autour de Oy d'un certain angle. Le nouveau système d'axes est alors Qœ\ Oy', 0^, (V étant confondu avec (hj. Décrivons autour de comme centre une sphère de rayon i. Les coordonnées primitives de la direction OS sont : arc PS, et SPM = A'. Les nouvelles coordonnées sont arc PS et PFS. La recherche de ces nouvelles coordonnées revient à la résolution du triangle sphérique PSP'.

4 TRIGONOMÉTRIE 8PHÉRIQUB

4. Trigonométrie sphérique. — Pour établir les différentes relations qui existent entre les éléments du triangle sphérique PSP' [fig. 3), projetons la longueur OS égale à Tunité sur les axes Oa?, Oy, 0^, Oo/, Oy', Qad. Nous aurons, en appelant (», y,^, û/, j/, z' ces projections et a^ 6, c, A, B, G, les éléments du triangle PSF :

a; == sin 6 cos A' y = sin 6 sin A' z = cosb a/ = sin a cosB y' = sina sinB y = cos a

Mais nous pouvons encore obtenir la projection a?', par exemple, en faisant la somme des projections sur Taxe Ox' des segments a?, y, z projections de OS sur Oa?, Oy, Oz, Les cosinus des angles que font entre elles les directions Oa;, Oy, 0^, Oa?', Oy', Oz" étant réunis dans le tableau suivant :

on voit qu*on aura :

a?' = sinô cos A' cosc 4- cosb sine

y' = sin 6 sin A'

z' = — sinô cos A' sine -f- cosô cosc

Par suite, en comparant ces formules aux précédentes, il vient :

sina cosB = sinô cos A' cosc + cosô cosc sin a sin B = sin b sin A'

cosa = — sin ft sine cos A' + cos b cosc

Ou, en remplaçant A' par sa valeur 180* — A :

(1) sin a cos B := cos 6 sin c — sin ô cos c cos A

(2) sin a sin B = sin 5 sin A

(3) cos a =: cos b cos c + sin 6 sin c cos A

Ces relations sont générales et applicables à toutes les valeurs des angles et des arcs de 0* à 360*. Mais dans les triangles on suppose toujours les éléments plus petits que 180*. Elles ne sont pas distinctes ; en effet, si on les ajoute membre à membre, après les avoir élevées au carré, on trouve une identité.

Si Ton suppose que le rayon de la sphère augmente indéfiniment, les côtés du triangle conservant toutefois leurs longueurs, le triangle sphérique se transforme en un triangle, rectiligne etles formules (1), (2), (3) relatives aux triangles sphériques se transforment aussi pour donner les formules relatives aux triangles rectilignes. Proposons-nous de chercher ces relations. A cet effet, introduisons dans les formules les longueurs à, p, y des arcs a, b, c. Dans les formules de la trigonométrie sphérique, les quantités a^beic représentent les rapports des arcs qui sous-tendent les angles au rayon R, ces longueurs étant mesurées avec la même unité arbitraire.

On a donc (*) :

Le rayon de la sphère croissant indéfiniment, les angles a^byC correspondant aux arcs de ce nom seront très petits puisque les longueurs a, p, y de ces arcs restent finies. On pourra donc remplacer les sinus et cosinus de a, 5, c par leurs développements en série en appliquant les formules :

011 œ désigne le rapport de Tare au rayon.

On aura alors :

En effectuant, multipliant par R et passant à la limite, il vient :

a cos B =s Y — p cos A, ou bien encore :

a cosB + p cosA = y,

(1) Si les aDglei étaient exprimés en secondes, on aurait, en appelant I la longueur de l*are d*une seconde dans le cercie de rayon i :

donc encore

«=ff

à la condition d'exprimer a et R avec la longueur l prise comme unité.

Cette formule exprime que dans un triangle un côté quelconque est égal à la somme des projections des deux autres sur éa direction.

La formule (2) transformée de la même manière donnerait :

sin A sin B En effectuant le même calcul pour la formule (3), on obtient :

('-ffii+-)=('-^.+")('-iè+-)+

d'où Ton déduit, en multipliant par 2R' et passant à la limite : ofl =.p> + y* — 2py C08 A.

C'est la formule connue des triangles rectilignes.

Il serait intéressant de rechercher aussi ce que deviennent ces formules dans le cas où R est seulement très grand par rapport aux côtés. C'est le cas des triangles géodésiques. On arrive alors à un théorème très important, dû à Legendre, qui permet de calculer les côtés d'un triangle sphérique très peu courbe, comme s'ils étaient rectilignes, en fonction de Fun d'eux et des trois angles. Nous y reviendrons plus loin.

Les formules (i), (2) et (3) contiennent toutes celles de la trigonométrie sphérique.

En permutant les éléments du triangle dans ces trois formules et considérant après Tangle A, Tangle B et l'angle paralîactique (*) C (fig. 3), on obtient de nouvelles formules

(1) Cet angle mesure le chaDgement (icapdtXXee^w) de direction que doit sabir le rayon Tisuel d'an observateur placé en S pour viser successivement les pôles P et P'.

TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUB

analogues aux premières, qui donnent avec elles on total de douze relations.

Des combinaisons de celles-ci permettent d*en établir beaucoup d'autres ; en divisant, par exemple, la première par la seconde, on a :

COtB = — COSC COt A + -: — r COib

' sinA

On écrit ainsi cette formule :

(4) sine cotô = sin A cotB -|- cosc cosA

et cinq autres peuvent s*en déduire par permutation. La considération du triangle polaire ou supplémentaire

fournit une méthode générale pour trouver ces nouvelles relations. On obtient ce triangle en décrivant de. chacun des sommets du triangle primitif comme pâle des arcs de grand cercle. Soient A'B'G' {/îg. A) le triangle ainsi déduit du triangle ABC; D, Ë les points où BC prolongé rencontre A'B' et A'C';P, G les points dlntersection de AB, AC prolongés avec B'C. L'angle A' a pour mesure l'arc DBGE. Or on a :

Pig. 4.

DBGE = DG + BE — BG = iSO* — a

Les angles du triangle supplémentaire sont donc donnés par

les formules :

De même, d a pour mesure B'FGrC' et Ton a :

BTGC' = B'G + FC — PG = 180» — A

et les côtés de ATB'C ont pour valeurs :

Si Ton introduit les éléments du triangle supplémentaire dans les premières égalités, on a alors, en remarquant que la relation de proportionnalité des sinus ne donne point de résultat nouveau :

— sin|A' cos 6' = — cos B' sin C — sin B' cos C cos a!

— cos A' = cos B' cos C — sin B' sin G' cos a!

— sin C cot B' •= — sin d cot V + cos C cos d

ou, en rétablissant lés éléments du triangle considéré :

(5) sin A cos h = cos B sin C + ^^"^ ^ cos C cos a

(6) cos A = — cos B cos G + sin B sin C cos a

(7) sin G cot B = sin a cot 6 — cos G cos a

Ges formules et celles qu*on en déduit par permutation portent à trente- trois le nombre des relations entre les éléments d*un triangle.

La formule (6) donne un cdté a du triangle en fonction des

10 TRIGONOMÉTRIE 8PHÉRIQUB

trois angles. En trigonométrie rectiligne, les trois angles ne déterminent pas un triangle ; en trigonométrie spbérique, le trièdre est déterminé par ses trois angles, et si l'on connaît le rayon delà sphère, ou 8*il est pris pour unité, les côtés du triangle correspondant s*en déduisent. En réalité, ce n^est donc pas la longueur du côté qui est déterminée, mais son rapport au rayon. Les triangles géodésiques, qui sont tracés sur la surface de la terre et qui doivent servir à déterminer le rayon de celle-ci, ne sont pas définis par leurs trois angles ; il faut de plus connaître la longueur d*un côté.

Ces formules permettent de résoudre les triangles dans tous les cas possibles. Au point de vue géométrique, U y aurait lieu de discuter les solutions et de signaler les cas d'impossibilité des triangles. C'est inutile en astronomie puisque les triangles que l'on calcule existent réellement (^).

5. Formules des triangles rectangles. — Nous déduirons les formules relatives aux triangles rectangles des précédentes en y faisant

A = 90® sin A = 1 cos A = o.

Nous considérerons les formules suivantes contenant A :

sin acos B =: cos 6 sin c — sin ( cos c cos A sin asinB = sin b sin A

cosa = cos b cos c -|- sin J sin c cos A sin c coib = sin A cotB -{- cos c cos A sin c cota= sin B cot A -{- cosc cosB

cos A = — cos B cosG -(- sinB sin C cos a.

(1) Il importe de ne jamais employer ane formule sans en vérifier l'exactitude; c'est ce que Le Verrier recommandait aux calculateurs et ce qu*il faisait toujours lui-mAme.

FORMULES DES TRIANGT^S RECTANGLES il

Les autres formules contenant A donneraient pour le triangle rectangle des formules à trois termes, non calculables par logarithmes, ou des formules déjà obtenues. Les relations écrites deviennent, pour A = 90* :

sinacosB = cosftsinc sina sinB = sinb

cosa = cos^cosc sinccot6 = cotB sine cota = cosccosB cosa = cotB cote

La première s'écrit, en tenant compte de la seconde :

cos B = cos 5 sin G

et la cinquième se met sous la forme plus simple :

tgc = tgacosB

En résumé, les formules des triangles rectangles sont au nombre de dix, obtenues en permutant les précédentes ; elles forment les six groupes suivants :

COS B = cos ^ sin G cos G = coscsinB sin a sin B == sin 5 sin a sin G = sin c

cos a = cos b cos c sin c coib = cot B sin J cot c = cot G

tgc = tgacosB

igb=: iga cos G

cosa = cotB cote.

13 TRIGONOMÉTRIE SPUÉRIQOE

Un procédé mnémonique permet d^éiablir immédiatement l'une quelconque de ces relations. On inscrit sur les côtés de Tangle droit du triangle {fig. 5) les valeurs 90^ — ft et 90* — c de leurs compléments, et sur Thypoténuse sa valeur a ; on marque les sommets B, G en ayant soin de ne pas indiquer

par une lettre le sommet de l'angle droit. Lie cosinus d'une quelconque des cinq quantités inscrites sur la figure est alors égal au produit des cotangentes des deux quantités adjacentes ou au produit des sinus des deux quantités opposées. IjCS cinq quantités peuvent encore s'inscrire sur les côtés d'un pentagone {fig, 6) dans Je même ordre que précédemment.

6. Remarque sur remploi des formules. — Pour régler le choix de ces formules, il est utile de savoir quelles sont les lignes trigonométriques qui peuvent se calculer avec la plus grande approximation.

Si l'on prend dans les tables à sept décimales les différences des logarithmes-sinus, des logarithmes-cosinus et des logarithmes-tangentes, on trouve qu'aux environs de 45*, les variations de ces logarithmes pour 10^ sont :

pour le logarithme-sinus. . . 211 pour le logarithme-cosinus.. . 211 pour le logarithme-tangente. . 421

REMARQUE SUR l'eMPLOI DBS FORMULES 13

Par suite, comme on répond de l'unité sur la dernière décimale, Tapproximation pour Tare est :

par le sinus et le cosinus, de 377 = (f,047 par la tangente, de T37 = 0*^,023

On peut donc employer les trois lignes, mais la tangente, qui permet de calculer à 2 centièmes de seconde près, est préférable.

Il faut bien remarquer que l'approximation que l'on cherche dans les résultats du calcul doit toujours être la même que celle des données de Tobservation. Si, par exemple, on ne peut répondre dans les données que de la minute, on cherche la différence entre les logarithmes des tangentes de deux angles différant d'une minute ; si cette différence porte sur la quatrième décimale, on ne prend dans les calculs que quatre décimales au logarithme.

n est rare qu'on se serve en astronomie de logarithmes à sept décimales, comme on le fait en géodésie ; les formules que l'on emploie sont, en général, mises sous forme de séries rapidement convergentes et une approximation de quatre ou cinq décimales suffit.

Au voisinage de 0"*, le logarithme-sinus varie extrêmement vite, ainsi que le logarithme-tangente ; le logarithme-cosinus, au contraire, ne varie pas de -|- 2'3(r à — S'SO''; pour avoir, avec le logarithme-cosinus, une approximation de 10 unités pour ICr, c'est-à-dire pour répondre de 1'', il faut que l'angle soit supérieur à 2*40'. Le cosinus ne doit donc pas être employé aux environs de 0*. De même, le sinus, dans le voisi-

14 TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUfi

nage de 90*, noTariepas de 89^5730" à90*2'3(r et le sinas ne peut alors servir.

La tangente a donc l'avantage de donner tooyoars une approximation suffisante qui est de 2 centièmes de sec o o de an minimum. Les formules qui contiennent des tangentes sont donc celles qu'il convient d'employer de préférence, quand cela est possible.

Pour les petits angles, il est impossible d'interpoler avec les di£rérences premières du logarithme-tangente ou du logarithme-sinus dans les tables qui procèdent de IC^en 10^. Une table des sinus et des tangentes de seconde en seconde de 0* à 4» peut servir au calcul dans ce cas (table de Callet); mais il vaut mieux recourir à la table des nombres qui donne le logarithme du nombre de secondes correspondant à un nombre donné de degrés, minutes et secondes, et le logarithme du rapport du sinus à l'arc qu'il faut y ajouter pour obtenir le logarithme-sinus ou le logarithme-tangente. Les tables de Schrônsont plus complètes encore et donnent le moyen.de passer du logarithme-sinus ou du logarithme-tangente à la valeur de l'angle en degrés, minutes et secondes. Elles contiennent cinquante nombres par page, ce qui facilite la recherche des logarithmes de nombres; celles de GaQet en contiennent soixante et cette disposition, désavantageuse pour les logarithmes de nombres, est plus commode pour la recherche des logarithmes des lignes trigonométriques.

L'astronome ne se préoccupe pas, en général, de rendre les formules calculables par logarithmes (^). La méthode la

(*) Le Verrier Jugeait cette traQsformatioa abBolumeot inutile: l*emplol des tables des logarithmes de nombres est, en effet, plus facile que celui des tables des logarithmes des lignes trigouomélriques et le calcul direct n*ezige pas la recherche de plus de logarithmes que les formules de transformation.

REMARQUE SUR l'eMPLOI DES FORMULES 15

plus rapide et la plus exacte pour calculer une formule binôme consiste dans remploi des logarithmes d'addition et de soustraction, donnés par les tables de HoUel (cinq décimales) ou de Wittstein (sept décimales). La formule (3) des triangles (4) s'écrira, par exemple :

- r. , sinô sine cosAl cosa = cos ô cos c I i H r I

et la table donnera le logarithme de

8in6 sine cosA

cos6 cosc

qui, ajouté à celui de cos b cos c, donne celui de cos a.

A défaut de ces tables, on a recours à l'emploi d'un angle auxiliaire. Les seconds membres binômes des formules fondamentales contiennent le sinus et le cosinus d'un même angle ; il est donc facile de les transformer en un sinus ou un cosinus d'une somme de deux angles. Pour la formule (3), par exemple, on pose :

cos c = m cos 9 sin c cos A = m sin f

et la formule devient :

cosa = m cos (9 — b)

a < 180® est donné sans ambiguïté par son cosinus.

Les quantités auxiliaires m et <p sont données sans ambi<guité par les équations :

tg(p=: tgc cos A

cosc sin <? cos A

cos f sin ^

et le calcul de la valeur de m mise sous ces deux formes fournira une vérification.

Si les données sont a, c et A, la transformation précédente donnera pour calculer b Téquation :

cos(9 — 6) =

cosa

Mais le signe de 9 — b, qui était connu dans le premier cas,

sera ici indéterminé. L'interprétation géométrique des quantités f et m permettra de le fixer. Soit, en efiet, ABC {fig. 7) le triangle considéré; si Ton abaisse de B un arc de grand cercle BD perpendiculaire à AB, on a,

Flg. 7.

dans le triangle rectangle ABD :

tgAD = tgc cosA = tgç cosc = cosf cosBD

Les valeurs de f et m sont donc :

(p = AD m = cos BD

On prendra, par suite, <f — b on b — <p suivant que AD sera plus grand ou plus petit que AG, c'est-à-dire suivant que le point D tombera au-delà de G ou en-deçà de C par rapport à A, ce qui sera indiqué par les conditions de l'observation. Ge cas se présente dans la détermination de la colatitude, comme nous le verrons plus loin.

REMARQUE SUR l'eMPLOI DES FORMULES 17

La même formule peut aussi donner A par la transformation suivante. On en déduit:

. cos« — cosb cosc

sm à sm c d'où:

. . a • « 1 1 — fcos a — 008 {b — c)]

i — cos A = 2 sm' s A = — ^ . , . — ^

2 sm 6 sm c

. , . ck • 1 * cos a — cos (^ + c)

1 + cos A = 2 cos* s A = . ^ . ^ '

z sm 6 sm c

Si Ton pose :

on pourra écrire ces formules de la manière suivante :

sin 1 A =-- ±: J^EEW^IÊEÂ 2 V sm 6 sm ç

„.,.,) I . . . /sin» sin(p — a)

(3 bis)- { C0S5 A = db \/ — ^ , . ^

^ M 2 V sm 6 sm c

\ 2 V sin p sin (p — a)

Si J'angle A est compris entre 0° et 180® (et Ton peut toujours faire qu'il en soit ainsi), les radicaux devront être précédés du signe +•