Formules difFèrentielles. — Les observations n'étant

pas rigoureusement exactes, les données des calculs comportent

des erreurs et demandent des corrections. 11 est donc utile de savoir :

i® Quelle est l'influence sur les résultats d'une petite varia-

GoogI

tion des doQDées. On détermine ainsi les meilleures conditions de Tobservation, en cherchant dans quelles circonstances cette influence est la plus petite possible;

2® Quelle correction il faut apporter à des résultats déjà connus sans avoir à recommencer tous les calculs.

A cet effet, nous supposerons les erreurs commises sur les données assez petites pour pouvoir être considérées comme des différentielles, c*est-à-dire pour que Ton puisse en négliger les carrés et les produits.

Etablissons d*abord les formules en trigonométrie rectiligne. Les formules fondamentales de la trigonométrie rectiligne étant :

sin A sin B sin C

ona,endinérentiant et désignant par Sa, 86, le, Ik, SB, 8G les variations des côtés et des angles :

(1) 8A + 8B + se = o

sinA.oa-acosA.$A sinB.8/>-6cosB.SB sinC.Sc-ccosC.SG

sin-^A sin^B ~" sin* C

En multipliant respectivement par

sin A sinB sinC

abc

ces trois dernières égalités, il vient :

(2) - - cot A.8A= r — cot B.aH= - — cot C.BC

Les équations (1) et (â) déterminent sans ambiguité trois

FORMULES DIPFÉREKTIEIXRS

des quantités : Sa, S^, So, SA, SB, SC en fonction des trois autres.

On aurait pu établir la formule (2) par des considérations purement géométriques. Nous nous placerons dans un cas particulier. Nous supposerons que la variation de Tangle Best nulle en même temp» quea, b, A varient de Sa, Sô, SA ; on a {figX) :

Sa = CE, ^"^

SA = CAE.

FIg. 8.

Pour évaluer ^ô, décrivons du point A comme centre avec AC pour rayon un arc de cercle rencontrant AE en F ; Ib aura

pour valeur ËF. Si nous menons par le point C une parallèle CD au côté AB,la considération des triangles semblables ECD et EAB donnç : .

DE b-\-U CE "~ a + 5«

On en déduit

a + Sa a

en négligeant des infiniment petits d'ordre supérieur au premier.

D'autre part:

DE = Ib + FD

ou bien encore, en considérant le triangle CFD comme

fï TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQOE

rectangle en P:

DE = 86 + CF cotA = 86 + 68A cet A

86 = - 8a — 68A cot A, a

égalité qui se déduit bien des précédentes en supposant 8B =0. Établissons maintenant les formules différentielles de la trigonométrie sphérique. Différentions la formule fondamentale :

cosa = cosb coBC + sinô sine cosA.

Elle donne:

— ainû.Bo^— sinôsincsinA.ÎA— (sinôcosc — cos&sinccosA)86 — (cos 6 sin c — sin b sin c cos A) 8c,

égaillé qui peut encore s^écrire d'après les formules (i) et (2): &maM — cosCsina.Sa-fsina cosB.8c+ sine sin a sinB.8A ou enfin :

5a = cos C. 86 4" cosB.8c -j- sine 8inB.8A^

Par permutation, on obtiendrait deux autres fcrmules analogues.

Dtffërentifms la relation :

sin a sin B =r sin 6 sin A.

Nous aurons:

coaiîsinB.Sa4-sinacosB.8B=cos6 sin A.8A-]-8in6 cosA.8A

En divisant membre à membre ces deux dernières égalités,

il vient :

coi aM + colB.SB = coi b.Zb + colA.BA.

En général, 11 estutile de connaître la variation d*an élément quelconque en fonction des variations des données. La méthode générale consiste à écrire que la différentielle totale d'une fonction composée est égale à la somme de ses différentielles partielles relatives à chacune des variables qui y entrent explicitement.

Supposons, par exemple, que, dans un triangle, les données soient a, ô, C. On se propose de calculer 8c, 8A en fonction des variations Za, Iby 8C des données. A cet effet, regardons c et A comme fonctions des trois quantités a, 6, C ; nous aurons :

II nous sufRt alors de connaître les coefficients tels que

T-> *,T» ^7,» etc. Pour les calculer, on part des relations où da dô dC » r

chaque inconnue dépend directement des données, c'est-à-dire

des formules (4) :

cos c = cos a cos 6 -f- sin a sin b cos C sin C cot A = cot a sin 6 — cos G cos b

(') Celte équation D*e8t en réalité que le premier terme du développement de suivant la' série de Taylor, lorsque les trois variables reçoivent les accroissements 8a, $6 et 80. Il est donc nécessaire de s*assurer, dans chaque cas particulier, que les termes en 8a*, 86*, 8C* sont négligeables.

U TRIGONOMÉTRIE 8PHÉRIQUE

et Von déduit, en différenliant la première :

de sin c -r- = 8În a cos b — cos a sîn h cos C = sin c cos B da

On en tire immédiatement :

de

, = cos B da

On trouverait de même :

de 4 de . y , . . . ^

— = 008 A ~ = sm ô sm À = sin a sm B.

db dC

De même, en différentiant la seconde relation, on aurait :

d\ sin b sin A sinB

da "" sin a sine "" sine

dK ' t An

:rr = — smA cotC db

dX sin g cosB

de sine

Par permutation, on obtiendrait les valeurs des autres coefficients qui entrent dans les formules du type(a). Le problème se trouve donc résolu dans toute sa généralité.

Remarque I. — Lies quantités Sa, Zb, Se, SA, SB, SC ne représentent pas des grandeurs de même nature. Le rayon de la sphère étant pris pour unité, Sa, S6, Se sont les accroissements des arcs a, p, y et représentent par suite des longueurs, tandis que SA, SB, SC représentent des accroissements d'angles. Pour que, dans une formule telle que :

Sa = cosC.S^ 4" cosB.Se + sine sinB.SA

il y ait homogénéité, il faut que le dernier terme sin c sin B.SA

représente aussi une longueur. C'est ce qui a toujours lieu.

En effet, considérons un triangle sphérique ABCiJîg, 9); les coordonnées du point C sont par exemple a et B. Supposons qu^elles s'accroissent de ha et de 8B. Le point C se déplace alors et son déplacement peut être regardé comme la résultante de d eux déplacements obtenus, l'un CE en faisant varier a et laissant B constant, l'autre CC, en laissant a constant et faisant varier B. Hais le déplacement CC^ n'est pas mesuré par 5B ; il est mesuré par la quantité SB sin a qui représente une longueur. Aussi, dans toutes les formules, la variation d'un angle est-elle toujours multipliée par le sinus d'un des côtés de cet angle.

Remarque II. — Dans les formules précédentes, les quantités a, b, c sont exprimées en fonction du rayon R, c*est-à-direque, si a est la longueur de Tare de rayon R qui sous-tend Tangle a, on a :

Fîg. 9.

Par suite:

OU bien encore, si R = 1

5a = Ba,

Dans les applications, les angles sont donnés en secondes; il faul donc Iransformer les formules de manière à avoir les variaUons ta, Bô, Bcexprime'es également en secondes.

A cet effet, désignons par a et p les longueurs des arcs qui BouB-tendent les angles a et b \ on a:

ou bien encore:

a"^ et 5* désignant les expressions des arcs a et p en secondes. Ceci posé, prenons pour p la demi -circonférence de rayon R; la formule précédente devient :

ttR "" -Tc "" 648000 On en déduit :

Cherchons ce qu'exprime ce nombre 206265.

Pour ci^la, faisons a = R. Nous aurons :

TT "■ 648000 a'^ = 5^?^ = 206265

.^T^'^SÎT^^T'

Donc 206265 est le nombre de secondes contenues dans

Tare égal au rayon, et ar^ar^ est Texpression dans le cercle

de rayon 1 de Tare i'^ Par suite :

a == a\ arc M' a

arcr

Pour obtenir le résultat cherché, on remplace dans les formules l'arc exprimé en parties du rayon par le produit de Tare exprimé en secondes par arc M\ et les quantités analogues à Sa par

Ba^'.arc ï\

Mais are V* et sin K" ne diffèrent que d*une unité du quatorzième ordre décimal. On peut donc écrire :

a = d' AxiM' 5a = Sa'' sin r

et le logarithme de sin 1" a pour valeur:

log sin r ="5,6855749 («).

(1) Le lecteur qui désirera de plus amples développements sur la trigonométrie sphérique pourra recourir aux Notes sur l'Astronomie sphérique recueillies au cours de M. Ossian Bonnet par MM. BloDdin et Guillet (G. Carré, éditeur, 1889).