DÉTERMINATION BU MOUVEMENT DU SOLEIL
lions (2) et (3). La position sera connue à une époque quel* conque t, si Ton connaît sa longitude à l'époque 0.
82. Problème de Kepler. — Au moyen des relations (2) et (3) y déterminer, à une époque quelconque t^ la longitude L et le rayon vecteur du centre du Soleil. Le temps t est compté à partir du périgée.
Pendant un intervalle de temps égal à t^ le rayon vecteur joignant le centre du Soleil à celui de la Terre décrit une aire dont l'expression est
et que Ton peut calculer. Le problème' est donc ramené an suivant :
Étant donnée l'aire d'un
secteur elliptique, trouver y
l'angle en T et le rayon vec- - //
teur TS {/îg. 79). ^
L'ellipse d'excentricité e
et de grand axe ^ est la
Flg. 79.
projection d'un cercle de rayon a, dont le plan fait avec celui de l'ellipse un angle <f tel que :.
sin.(p = e, ...
cos® = yl — e*,
Donc, le secteur elliptique t^TS est la projection du secteur circulaire crl^S'., Pc^r suite : .
ctTS=jjTS'V4— «'
su THÉORIE DU SOLEIL
Or:
Secteur tyTS' = Secteur oCS' — triangle CTS'
= ^a*w — ^a,aê gin m = 5 a* (ti — eAnu).
Secteur ctTS = r a* V* — e* (1 — sin tl^,
D*où l'on conclut :
5 a» Vi— «* (w — « sinu) = i na^ Vl — «*i
ou :
(1) «^ = Ç = ti — « sin u.
L*angle u, ou Tangle oGS' de la figure, porte le nom d'onoma/t^ eœcentriqtte; n^ = Ç est Tanoma/t^ moyenne: c'est l'anomalie (ou Tangle avec Ter) d'un point qui, partant du périgée zj en même temps que le Soleil, se mouvrait uniformément autour de T. Cet angle n*est pas représenté sur la figure.
Pour avoir l'expression du rayon vecteur TS correspondant à la position S du Soleil à l'époque t^ appliquons la formule
r=: a — ea
donnée dans la théorie des foyers et dans laquelle œ désigne l'abscisse du point S. 11 vient :
(2) r = a{l — e cosm).
La connaissance de r et u conduit à celle de L. En effet : t> = L — cr.
PROBLÈME M KBPLfiR 21S
Or:
Donc :
1 — e C08U Par suite :
1^ étant connu, on en déduit :
L = t> -(- nr.
Le problème est ainsi résolu d'une manière rigoureuse par les équations (i), (2) et (3). La solution suppose seulement que les observations ont fait connaître :
i* Le moyen mouvement n ;
2^ La longitude xs du périgée ;
3* L*excentrîcité e;
4® L'époque où le Soleil a passé au périgée, époque à partir de laquelle nous comptons le temps.
La seule difficulté qu'on rencontre dans ce problème est la résolution de l'équation transcendante
Ç = u — tfsinti,
ou de son équivalente :
dans laquelle ( et ti sont exprimés en secondes et où le
rapport
s'appelle la yalear de l'excentricité en secondes. :
I. Calcul de u. — Pour calculer u, il faut résoudre l'équation :
Ç = M — 6 sin ti, ou : . .
u^:^-}- esinu.
On voit d'abord que pour Ç :ir o, m = o ; pour Ç == i80», u = 180*. L'anomalie vraie, l'anomalie excentrique et l'anomalie moyenne passent simultanément par les valeurs 0® et 180^. L'anomalie excentrique est toujours un peu plus grande que ; de O"" à 180% un peu plus petite de 180<' k3W.
La dérivée de u — e sin u par rapport à u, 1 ^^ e cos t4, est toujours positive ; donc, u croissant de 0® & 360^, u — e sin u croîtra constamment.
Par conséquent deux valeurs de u, qui rendront Tune u — 6 sin u plus petit que C et Tautre plus grand, comprendront la valeur cherchée de ti. Il est donc facile d'avoir une valeur approchée de ti. 11 reste à la corriger. On prend d'abord
' sml '
soit Uq la valeur obtenue, valeur qui -n'est qu'approchée, et œ la correction qu'il faut lui faire subir pour avoir la valeur exacte. On a alors :
Ç = ^K + «?) — ^ù — « siuMo + ^ (1 ^ «COSflô)
PROBLÈME DB KBPLBR 217
en se bornant an premier terme dn développement. : - Par suite :
Ç — K — « «n"o) = 5o = ^ (4 — « cos ti^), D'où:
- e cos ti0
Connaissant ti^, cette dernière équation fournit œ et par suite une valeur u^ -f- a; plus approctiée que t^^ ; on calcule la nouvelle valeur de a? , qui en résulte, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à $o = o.
Méthode de Oauss. — r Ganss traite le problème en se servant des différences tabulaires au lieu des dérivées, t^^ désignant la valeur approchée de u déduite de (i), on cherche dans les tables log sin Uq et la dittérence tabulaire X pour- 1"^ ; Uq devenant t^^ -f- a?, la différence devient :
log sin (uo + 0?) — log sintt^ = dz >i?.
D'autre part, on cherche log é et l'on calcule la quantité :
log-T— T^smuA»
^sml ^
Cherchons le nombre correspondant, et soit (a la différence tabulaire dans la table des logarithmes des nombres. On a.:
jjfp8in(«. + «)-^,8in«;
218 *TRtoRIfi DÛ SOLEIL
Donc : .
^ • / I » e . 'Xoo
le signe -f- correspondant à une valeur de u^ comprise xians le premier ou le quatrième quadrant, le signe — au deuxième ou au troisième quadrant.
D'après cela, TéquatioA :
• ç = Uo + ay — j4p8inK-fa?) devient :
*' * sm i JA
ou ;
".*8ml " [* xH»/
Par suite :
On calculera comme précédemment plusieurs valeurs sucbesâiveô de œ jusqu'à ce que \ soit nul.
II. Calcul db L — cr bt r. — Ayant la valeur de w, on caK eule 9 ou L — cj et r par les formules :
r = a (i — e cosu),
PROBLÈME D& KEPL&R Si^
OU bien :
. y/ràn — ^ = V«(4 +«) sin 5 «*» .
^ CO8 "7 ^ = Vg (^ — g) C08^ u.
On introduit souvent au lieu de «,rangle f dont le sinus est égal à e.
Pour le Soleil,
On a alors :
y/T+ê = Vi+8in(p = V^ cosf 45* — 5 t)' Vl— « = Vi — siû (p = V2 sîn (45*» — I (pV
On en déduit :
• 'tg|(L-CT) = tg(45«+|ç)t«|ti,
Vr sin I (L— ct) = V2« cos ^45* — ^ (pj sin I u,
Vr cos 5 (L — cy) = V^ sîn (^S« — 5 ?) cos g ti,
d'où, en multipliant :
r 8in(L — xs) = a cosç sin ti,
et, en faisant ^a différence des carrés :
i(I^ij)=2arsin«(45*--|Y)co8»|— C08»^«^
rcos
290 THÉORIR BU SOLEIL
ou
ÎÎL Calcoî de JU et ûÉ). ^ On efiTeclue ensuite le calcul de «Hi et CD par les formules :
tgX = tgL COSd),
sin (D = sin L sin <i>.
La première formule se développe en série :
•I9 — L — tg* ^ o> 8in2L + 3 Ig^ 5 o> sin 4L -^ . . . . . .
ou : - ' ; . . ;
<Jl, = L + R
Celte quantité R qu'il faut ajouter à L s'appelle la réduction àféquateur.^d^yeAeuresi:
R = — Ig'^wsînîL-f ^tg^- a)8in4L—
83. Elémentsnécessairespour déterminer la position du Soleil. — La' solution complète du problème exige la connaissance de sept éléments :
1" et â**, «> et la position de y (c'est-à-dire l'ascension droite d'une étoilej^qui fixent la position du plan de l'orbite ;
3^^ m longitude du périgée, qui tixe la position du grand axe de Torbite ;
4^ et 50, é et a, qui fixent la forme deTorbite elliptique! Pour l'orbite du Soleil dont le grand axe est pris pour unité, a est égalai;-
ÉLÉMENTS FIXANT LÀ POSITION DU SOLEIL Sîi
6**, n, qui détermine la vitesse dans l'orbite et la durée de la révolution sidérale^
7^, L^époque du périgée, à partir de laquelle se compte le temps t." . ! . , ]
Nous retrouverons les mêmes éléments pour déterminer la position d'une planète. Hais ils.se réduiront en réalité à six ; car la troisième loi de Kepler établit une relation entre le demi-grand axe a et la durée T de la révolution sidérale ou
le moyen mouvement — == n. > ' .> .
Les longitudes sont comptées de Téquinoxe fixe de Tépoque. La durée T est donc la révolution sidérale^ n le moyen mouvement sidéral dans Tunité de temps, jour moyen ou jour sidéral, et Ton a suivant les cas :
T = 365,2564 ou
84. Formules développées en séries. — La méthode précédente est applicable dans tous les cas; c'est même la plus commode pour calculer un lieu du Soleil. Mais si Ton veut en calculer uil grand nombre, comme on doit le faire pour établir une éphéméride, il est avantageux de profiter de la petitesse de e pour développer m, r et L suivant les puissances de e.
On emploie dans ce but la formule de Lagrange : elle sert à développer mie fonction F(^), z étant donné par Téquation
Z=X'\'<lf[z), .
où/ désigne une fonction donnée quelconque et a une quantité
îfâ THÉORIE DU SOLEIL
conâtanle très petite par rapport aux puissances de laquelle il faut développer F {z), La formule est j:
8i F{x) ee réduit &t, elle devient :
1^ Développement dêu. — D'apréd la formule :
u== Ç-j- e smu
on a :
f[u) = sinu
el par suite ;
Pour former les dérivées de sin^Ç, sin^Ç, , on remplace
les puissances des sinus par les sinus et cosinus des multiples il6 Tare, en se servant des formules :
smC =
cosÇ =
où Ton a :
FORMULES DÉVELOPPÉES EN SÉRIES i23
En cakulant les puissances, on trouve :
— 2 8in*Ç = coô2Ç — 1
— 4sin>Ç = siû3C — 3 siaÇ
8 sin ^Ç = C084Ç — 4 cosîÇ + 3 16 sin K = 8in5C — 5 8in3Ç + 10 sin Ç
On en déduit :
d sin *Ç
rf»8in»Ç 3 . , , 9 . -
^-^1^ =s 4 sinâi: 4- 8 8ifl4î:
d^sin»!: 5 . 405 . - , 625 . „ -^^ = g8inÇ-^8in3Ç + -j^8m5C
On obtiendrait de même les valeurs des puissances successives de cos C et de leurs dérivées.
Le développement cherché est donc :
M = Ç + ô »in Ç — I c* sinîÇ + ^ (— § ^^^'^ "^ 8 ^^'^^O
+ e^(-g8in2Ç4-|8m4;)
+ ^(ïfe'''''^-i^'^^^+li'^^^^) +
2® DévelcppemerU der. -^ D'après la formule : r = a (1 — e cosu)
^n THÉORIE DU SOLEIL
on est conduit à faire dans la formule de Lagrange :
f{u) = sin u —
On a alow :-
^ . ^y e* d sin *Ç coaii = cosÇ — c sin % — j-g — ^=
~ i.2...m dti'^-*
On en déduit :
gm+4 tf^"<8in^+^^ + 1.2...W rfC"»-* "*■
En remplaçant comme plus haut les puissances des sinus par leâ ginus et cosinus des multiples de Ci on obtient pour le développement cherché :
^= 1 - e cosï +éî»Q-|co8 2ç) + c» (|cosÇ -^cos3ç)
+ ô^^|cos2Ç-.|cos4ç) + ^^(-î|co3Ç + ^co8 3i:-||cos5ç) +
3** BéveloppeTnentdeLou de v. — On a, d*après Texpression connue de la loi des aires :
r* dv = na^ ^i — e^ dt
