FORMULES DÉVELOPPÉES EN SÉRIES

OU bien :

On en déduit :

Pour trouver le développement de

il faut faire dans la formule de Lagrange F (u) = (1 — ecosu)-*.

11 est vrai que F(u) contient alors e explicitement; mais la formule de Lagrange s'applique à la condition de considérer e comme un paramètre constant qui ne s'annule pas dan8F(u)«. On a alors :

(1 — e cosa?)'* f [u) = sin u a = «

et, par suite :

-5 = (1 — c costt)-* = {i — e cos Ç)-* — r; r^

H ^ ^ ^ ' (i — ecosÇ)*

« d sin*Ç

rf?;(i ^e cos 03

OOUBS D^ASTROIfOMUS. 15

OU, en se bornant aux termes en e^ :

^ = 1 + 2tf cosÇ ^- 3e^ cos'Ç + Ae^ C08« Ç — 2e'sin^Ç(l + 3«co8Ç) -éî»|8in3Ç,

uu, en introduisant les multiples de Ç :

^= 1 + 2e cosÇ +5C*+|e» C082Ç + e» cosSÇ

— c' + c* cosîÇ + s «' C08 Ç + 5 e* C083Ç

+ - c^ cos3 Ç — 7 e^ cosÇ, 4 4

et, en ordonnant :

^*=l+2ecoBÏ+^^(|+|cos2ç)+e3^|cosÇ+jC083i:y On a donc :

rfiî ^ [^1 + 2e cosÇ + ^' (I + 1 cosâç)

+ e^ 0COSÇ + jcos3ç)](i -ie» + ...)rf; ou, PU se bornant toujours aux termes en e' : rf<j= ri+2ecos!;+|c»co82î+e3 ^— ^cos!;^-^cos3^;^1 dÇ et, en intëgrant.:

''='^.+^+^*'"'^-f-r'8in2!: + c»(-i8in!;+j|8in3ç)