à minuit

La différ. 4* donne cette proportion : si 12* donnent 4*> combien 6*,7 ? On obtient i\i\ ainsi , en ajoutant à 5c/ 3 1", on a 5g 33", 2 = H pour la parallaxe horizontale de la Lune à cet instant: c'est-à-dire que si l'observateur est. transporté au centre de la Terre, avec son horizon parallèle, et que la Lune soit dans ce plan , mais en conservant sa distance au centre de la Terre , il la verra élevée de 59' 33 ",2.

Les valeurs de la parallaxe horizontale données dans la Conn. des Tems, sont tirées des tables astronomiques; elles, dépendent de la distance où se trouve actuellement la Lune* car plus elle est loin de la Terre, et plus le demi-diamètre de ce globe semblerait petit à un habitant de la Lune : ainsi , la parallaxe décroît à* mesure que le^ra^on vecteur augmente. Nous y reviendrons plus Jard (n* 92 ).

Cette pag^laxe lunaire de la Conn. des Tems est relative aux habitans de l'équateur terrestre; elle porte ce titre :pa~ rallaxe horizontale équatoriale. Nous expliquerons bientôt le sens qu'il faut attacher à cette expression , et comment, de cette parallaxe horizontale, on peut déduire celle qui convient à toutes les latitudes. ( V. n° 95. )

45. La seconde colonne de la cinquième page du mois contient le demi-diametre horizontal de la Lune à midi vrai de Paris, pour le spectateur qui est placé au centre de la Terre.

Plus nous sommes proches de la Lune , et plus son volume apparent est grand, c'est-à-dire plus l'angle optique sous lequel

nous l'apercevons est ouvert. Le diamètre varie avec le rayon vecteur de l'astre , et par conséquent avec la parallaxe horizontale H. Ces deux élémens sont en rapport constant, donné par l'équ.

Demi-diamètre apparent (£ = o , 2 725 . H.

Cest cette expression que l'on donne toute calculée dans la Conn. des Tems; on la tire des tables lunaires , et on l'inscrit dans la colonne qui s'y rapporte. Le coeff. 0,2725 est à très peu près = —, en sorte que l'on a demi-diam. (£ = tt H.

D'ailleurs log 0,2725 = 1 .4353665.

Quand l'astre est au périgée de son orbite , le demi-diamètre est le plus grand ; cet arc est alors =3 i6'45",535 ; à l'apogée, il est le plus petit et = i4'40"j935; enfin , à la moyenne distance, on l'a trouvé de i5'33",5.

Comme la parallaxe de la Lune varie avec la distance de cet astre à là Terre, et que le demi-diamètre change aussi pour demeurer en rapport constant avec cette parallaxe , les astronomes ont calculé les relations qui existent entre ces chanm gemens. Us ont trouvé que la parallaxe horizontale moyenne est = 57' o",9 ; c'est ce qu'ils appellent la consymie de lapa* rallaxe; qu'au périgée, elle est = 6i'24", et à l'apogée, = 53*48"; mais toujours le diamètre de la Lune est les -fc de sa parallaxe horizontale, «g^ *

46. Comme la réfraction profite* par la présence de l'atmosphère élève, en apparence, d'autant plus leuftbjets qu'ils sont plus rapprochés de l'horizon, cet effet, exercé sur le disque lunaire, est un peu plus grand sur le bord inférieur que sur le supérieur. Ce disque , au lieu de nous paraître exacte* ment circulaire , ainsi que cela serait sans la présence de l'atmosphère, prend une figure un peu aplatie dans le sens vertical, et nous offre l'image d'une ellipse dont le grand axe est horizontal, et diffère d'autant moins du petit axe que l'astre est plus élevé vers le zénith. Voilà pourquoi la Conn. des Tenu donne le demi-diamètre horizontal, qui n'est pas influencé par cette cause.

5* tfr (>• pages du mois. 5g

Ce derai-diamèire est celui qu'on trouve à midi vrai à Paris, car la distance de la Lune à la Terre changeant sans cesse, il est indispensable de préciser l'instant où l'on en donne la valeur. On obtient ce demi-diamètre pour toute autre heure par interpolation, comme n° 44* Comme l'aplatissement du sphéroïde terrestre est très petit, il n'exerce aucune influence sensible sur la grandeur apparente du disque lunaire , et il est permis de regarder la Terre comme sphérique, quand on veut calculer le diamètre de la Lune. Nous allons avoir égard aux change mens qui sont dus à la place de l'observateur qpr cette sphère.

47. Lorsque la Lune s'élève sur l'horizon , son diamètre apparent augmente; en voici la raison : la distance de l'astre L (fig. 14 ) au centre C de la Terre est d'à peu près 60 rayons terrestres , CL = 60 fois CI. Comme l'angle L du triangle LCO n'est guère que de i°, la ligne LO est presque égale à LC; Ainsi, deux observateurs placés , l'un en O, l'autre en I, voient la Lune, le iCT à son horizon , le 2e à son zénith j mais O voit l'astre plus loin que I et plus petit d'un 60e; le diamètre lui paraît être moindre d'environ 3o". Ces 3o* se répartissent, suivant une loi que nous allons indiquer , sur toutes les positions de la Lune , selon les hauteurs ou on la voit , depuis l'horizon jusqu'au zénith.

Soit L (fig. i5) le disque de la Lune ,JB| des points O et C, selon les angles LCM = R , hQHjzzfh Dans fes triangles rec-

tangles LO^OIV , on a sin LCM = ££, sin LON = g^ :

ainsi , sin R Z sin R7 : : OL : CL.

Mais dans le triangle LOC, on a OL ! CL " sin C I sin O, ou plutôt :: sin Z : sinZ', en nommant Z et Z' les angles formés par LG, LO , avec la ligne COz. Ainsi , on trouve

sin R : sin R' ! I sin Z : sin Z', ou même R I R' :: sin Z : sin Z',

en remplaçant les sinus de R et R' par ces petits arcs. En effet, même pour la Lune, R n'atteint jamais 17' : or,

sin 17' = 0,00494^080, et arc 17';= o,oo4945ioo; la différence o . 0000000a est tout-à-fait insensible. A plus forte raison, peut-on remplacer le rapport des sinus par celui des arcs.

Maintenant , si C est le centre de la Terre et O un point de la surface, z est le zénith, Z et 11 sont les distances zénithales de l'astre tu du centre et de la surface , qu'on nomme l'une vraie et l'autre apparente*, R et R' sont les demi-diamètres vrai et apparent , et notre proportion détermine la relation entre cesjrariables.

Soit IV ( fjg. 14 ) la Lune, GO la Terre*, on a

T*' « sin g il = H. — : — =-,

sm Z sinZ' — sin Z

B' T* /sinZ— sin Z \ R R==V sin-Z— "Z

/Telle est l'augmentation x qu'éprouve le demi-diamètre R, lorsqu'au lieu d'être vu du centre C de la Terre, on le voit d'un point O de sa surface , la distance zénithale étant 2! ; mais l'équ. (9), page 2 , change cette expression en

ar=^sini(Z'— Z)cosi(Z'-l-Z).

sin L m

Désignons par p l'angle L', qu'on nomme la parallaxe de hauteur (n° 91) ; on a dans le triangle I/CO, Z==Z.'j*-/?, d'où

x=z -z—rrf, -.sin^.cos(Z'— {p).

sm (Z — p) %r

Développons et faisons sin/>=/?, cosp = 1 , attendu que cet angle p est toujours fort petit ,

R^cosÇZ' — \p) R;?(cosZ'-K/'sinZ')

sin (Z'—- p) ~~~ sinZ' — /jcosZ'

■d Mais on sait (n° 45) que = = 0,2725 ; ainsi la parallaxe ho-

5* ET G* PAGES DU MOIS. Gl

rizontale H = 3, 6697 R = nR, en faisant la constante. • . . 71=3,6697. D'un autre côté, on a /?= II sin 71 (n° gi) , ou p = nRs\nZf ; donc

nR* siti 71 (cos Z' -f i *R sin* Z') sin Z'— nR cos Z' sin Z'

nR' (cos y + i ;*R sin» ZQ * 1 — nR cos 71

En développant en série le dénominateur à la puissance — 1 , on trouTe cette formule, qui est exacte au 4* ordre près,

x = AR* cos Z' + £ AaR3 cos* Z' 4- i À*R3 , A =0,00001 7791 33 , log A = 5.2502084.

R et x sont ici exprimés en secondes , et l'on a A = n sin 1 *,

On conçoit maintenant qu'à un instant donné le demi-diamètre apparent R' surpasse le vrai R » d'autant plus que 71 est moindre , c'est-à-dire que l'astre est plus élevé sur l'horizon du lieu.

Comme on ne peut voir que l'un des bords de la Lune , il faut toujours corriger les observations qu'on en fait du demidiamètre apparent R', et cette formule est employée à cet usage. Dans la détermination des longitudes par la méthode des distances de la Lune au Soleil ou aux étoiles , cette augmentation x ne peut être négligée. {V, n° 179)

Le plus souvent, on supprime les deux derniers termes de la formule, dont les valeurs réunies ne dépassent pas o",33.

Voici une application de ce genre de calculs : le i5 octobre 1829 , à 9* i4' de t. moy. , ou 9*28' de t vrai , le demi-diamètre de la Lune est R=i6'4">75; on a alors Z' = 720 59' 53*,3 près Paris.

A 5.a5oai A» 7o~.5oo4? \ i.i5a63

R» 5.96883 Rî 8.953a4

cosZ' 9-4G593 cos'Z'. ... 8.93196

o.685oa 2.08459

1er terme.. 4"»&{'*» a«... o",oia, 3«... o",i4a.

48. On réduit ordinairement cette valeur de x en table, pour éviter l'embarras de la calculer chaque fois qu'on en a besoin. C'est notre table IX, où Ton entre avec le demi- diamètre vrai R, vu du centre de la Terre, tel qu'on le tire de la Conn. des tcms, et avec la bauteur actuelle de la Lune. Ce dernier arc est dans la ire colonne , Vautre est dans les suivantes; il faut descendre dans celle de ces dernières qui porte en tête le demi-diamètre vrai R , jusqu'à la ligne horizontale qui répond à la bauteur : le nombre qu'on y trouve est l'augmentation x de R.

Si , par exemple, la bauteur du centre est 48°, et le demidiamètre vrai R = i5' r3o" , la table- donne 11 ",63 en correspondance avec ces nombres; il faut donc ajouter 11 ",63 à R, pour avoir le demi -diamètre apparent, qu'on trouve être R'=i5'4i",63.

Si le demi-diamètre R ne se trouve en tête d'aucune des colonnes, on interpole à l'ordinaire {v. n° 40 entre les deux nombres qui répondent aux deux demi-diamètres entre lesquels se trouve celui qu'on donne. Quand au contraire c'est la hauteur donnée qui n'est pas dans la table, on fait F interpolation entre deux nombres de la colonne où est R; Et enfin , si le demi-diamètre et la bauteur donnés ne sont pas contenus dans la table , ces arcs tombent entre les valeurs qui s'y trouvent ; il faut interpoler comme cela se pratique

5* ET Gc PAGES DU MOIS. 03

dans les labUs à double entrée, c.-à-d. en insérant des parties proport ionelles tant dans le sens horizontal que dans le sens vertical. On n'emploie guère ces sortes de tables que lorsque les nombres qui s'y trouvent différent très peu l'un de l'autre, de manière que le calcul d'interpolation puisse, pour ainsi dire, se faire à vue.

Par exemple, si le demi-diamètre est i5'5i", et la hauteur de l'astre 44°2I'> on interpolera ainsi qu'il suit. Voici la partie de la table qui sert d'élémens au calcul :

io"48

etc.

Gomme les titres de colonnes sont i5' 3o# et 16' o", qui diffèrent de3o", et que les deux nombres 10", 48 et 1 i",i 7, qui sont sur îa ligne de 42°> diffèrent de 0^,70, on posera cette proportion , comme dans les tables à simple entrée : si 3o" donnent o",70 de différ. , combien donneront 21* d'excès (sur i5'3o*)? savoir, 3o* : o",70 :: 21" : x = o/;,49* D'un autre côté, comme les hauteurs 42° et 4$° de la table diffèrent de 3°, et que les nombres correspondans 10", 4 8 et n',07 diffèrent de °V>9> qu'enfin, la hauteur donnée 44° 2I' surpasse 42° de 20 21', on fera cette autre proportion : si 3° de diff. en hauteur donne o"95g de diff. dans le sens vertical , combien 2°2i' ? ou 3° : o",59 :: 2°2i' : x ■=. oajfi. Ajoutant ces deux, résultats, parce que les nombres vont en croissant dans les deux directions , il vient o",4$ + °*>4^ = °">9^' Cette somme doit être ajoutée au nombre io",48> qui répond , dans la table, à 4^° et i5' 3o", termes de départ. Ainsi la correction est 1 1**43, et le demi-diamètre apparent devient 16' 2",439 au lieu de i5' 5i" qu'on trouve dans la Conn. des Tems,