POSITIONS GÉOGRAPHIQUES
Il est donc bien aisé de trouver le rang d'un jour proposé
quelconque.
Ainsi i le i4 novemb. est le 3i8e jour de l'année , parce que
go -f- 91 + 9a + 3i + 14 = 3i8. On compte les trois
trimestres, ptas 3i jours d'octobre , plus 14 de novembre.
Ainsi le rang do ce jour, exprimé en fraction de l'année , est
-— = 0,871 ; c'est ce nombre qui, dans la ir* colonne de
la table VIII, répond au i5 novembre.
De même, pour le 22 mal , on a 90 + 3o + 22 = 142,
^~ = 0,389; on écrit donc 0,389 Pres ^e ^a ^ate ^u 2^ ma'-
En général , ^êê =0,0027397 ; c'est cette fraction qu'il faut
multiplier par la date comptée depuis le itr jour de l'an. On fait ce calcul, pour certains jours de l'année, de i5 en i5 jours, et l'on ajoute 0,0027 à chaque résultat, 14 fois consécutives , pour les dates intermédiaires. On compose ainsi la colonne qui fait connaître, en fraction décimale de l'année, un intervalle quelconque compté depuis le iCr janvier. C'est ce qui est indiqué par le titre de fraction de Van.
Positions géographiques, p» 17a*
Cette table n'a besoin d'aucune explication ; elle prend chaque année plus d'étendue et d'exactitude , à mesure que les bonnes observations se multiplient dans les diverses contrées du globe. Nous expliquerons dans la 2* partie de cet ouvrage les procédés astronomiques qui servent à trouver les longitudes et les latitudes des lieux. Quant à ce quf se rapporte à la figure de la Terre , ce sujet est trop étendu pour trouver place dans le présent article ; nous le réservons pour un chapitre séparé. {V. n° 88.)
g6 OBLIQUITÉ DE L'ÉCLIPTIQUE.
Les causes de la différence que les astronomes trouvent dans leurs évaluation de l'obliquité de l'écliptique sont l'incertitude des constantes du problème, et particulièrement de la nutation *, en outre, les observations ! les latitudes des lieux, les réfractions, etc. , présentent des incertitudes. On comprend pourquoi l'observation des deux solstices d'une même année, faites par le même astronome, offrent 4*5 secondes de différence entre les valeurs qu'on en tire pour l'obliquité. On arrive donc à des nombres un peu inégaux lorsqu'on veut calculer l'obliquité apparente de l'écliptique , suivant qu'on prend pour base les constantes de tel ou tel astronome.
Quoi qu'il en soit, il importe de laisser chacun maître de préférer celle des valeurs de « qui lui semble digne de plus de confiance; et comme la déclin, du Soleil , telle qu'on la troute dans la Conn. des Teins, est altérée par un changement d'obliquité, on peut calculer d'avance l'influence de cette différence sur la déclin, solaire.
Reprenons l'équ. (3) du n° a3, et différencions-la :
sin D = sin # sin /, cos T5dX) = cos a sin /. du.
Divisant la a* par la Ve,
icot D. <fD = cot «. <&*; ainsi , en faisant d*-= \\ on a
dDs=z cot «.tang D. i" as a",3i5 tang D.
Ainsi, i"de variation dans l'obliquité de l'écliptique donne 2",3i5 tang D de changement dans là déclin, solaire. 'La Conn. des Tems prévoit donc le cas où un astronomie voudrait adopter une autre obliquité que celle qui sert de base aux tables de Delambre. On trouve, p. 206, de 3° en 3° de déclin. , le changement qu'il faudra faire subir aux déclin, consignées dans cet ouvrage, pour 1" de variation dans l'obliquité: L'interpolation fait ensuite connaître, pour les autres déclin., la variation qu'il faut prendre pour les déclin, intermédiaires.
INTERPOLATION, gj
Cette petite correction ne peut intéresser que les calculs extrêmement précis , pour lesquels les nombres de la Conn. des Tems n'ont pas le degré d'approximation nécessaire ; mais la correction s'applique aux déclin, qu'on trouve par l'emploi direct des tables de Delambre ou de celles de Carlini , qui sont établies sur les mêmes constantes de départ.
Pins tard , nous enseignerons à trouver , par observation , l'obliquité de l'écliptique et la position du point vernal T, origine d'où sont comptées les longitudes et les a se. dr. Nous en tirerons la précession des équinoxes , la nutation lunisolaire , etc. ; enfin , nous nous occuperons des questions de théorie qui se rapportent à ce sujet , et nous éclaircirons les difficultés propres à ce genre d'opération.
Sur la méthode d'interpolation.
78. Le procédé que nous avons exposé n° 41 f pour obtenir le lieu de la Lune à une heure quelconque, manque de précision , parce qu'on y suppose que la marche de l'astre est uniforme. Pour tenir compte de ses inégalités , il faut avoir égard anx diff. 2e% 3**,.... ainsi qu'on va l'expliquer. La formule d'interpolation démontrée u° £07 de nUtt Çoujrs, d+ • Math, pures, est
On propose une sé+e représentée par jr^jh, .Ta*, Xsh- . . , et l'on veut y intercaler d'autres termes réglés sur la même loi de génération. On tire les différences premières, en retranchant chaque terme de celui qui le suit, et conservant les signes; de là on tire les différences secondes, puis les différences troisièmes, etc. *, savoir :
Diff. ir«* yu — /• = 4f«a, jr*k—yk=:b, yik —/.*=: c. ., .
Diff. »•• £— «=*■«!, c — b=zk, d— c =/....
Diff. 3»» * — i=Aî=p, l—k = 47, etc.
Diff. 4e* V — f> = A<j et aim^d* flûte.
g8 INTERPOLATION.
Ou obtient ainsi les facteurs a1, a% a3,. . . de notre équ. qui donne l'expression du terme général jt de la série proposée. Si F on y fait t= o, A, aA, . . . on retrouve les ternies consécutifs J'ofJ'hjJ'Mhf'" mais en outre, posant f=i, 2, 3,... h -f-i, A + 2,... on obtient les A— î ternies intermédiaires entré J"o et jrh, entrer et ^,4... En général, on peut prendre pour t toute valeur entière ou fractionnaire , et Von à cette du terme de la série dont le rang est marqué par ce nombre t\ c.-à'd. que cette série est censée résulter de la fonction jrt ainsi obtenue, en attribuant à t diverses valeurs o, A, sAy . • . et qu'on a le droit de prendre pour t tout autre nombre à volonté (*).
Pour appliquer cette équ. flux nombres lunaires de la4 Conn.
(*) Quand on vent obtenir, non pas seulement nn terme yt , mais A — 1 termes équidistans entre y0 et yu , et qu'on suppose les différ. secondes constantes, ta même théorie conduit à la règle suivante : Formez les deux nombres
et composez la série qui a f pour diff. inconstante , et /' pour diff. »«* • ce sera celle qu'on demande. Ainsi, ponr interpoler h — 1 termes équidislaû* * «<eutre M ej^MTBans la sers* M, M', M",:M", où A » est constant,
i°. On calculera les nombres /"et <f';
a°. On formera la progression arithmétique dont tf est le Ier terme et i" la dlfiF. ,
' Savoir, ^, r+f, J'-f-aJ", //+3r,...
que nous représenterons par a, 6, c, <£;... 3«. on fdfc&erâ !<• nombres M, A = M-f-*, B = A-f&, C = B-fc, D = C-fcf,...
et Ton a ara la série demandée M, A , B , C . . . . M'. Par ex. , interpolons 5 termes entre les deux ier» de fa série
Diftér. ire. A'=36.43,a . 5o,4-...
DifFér. a" const. A*= 7, a . 7»a««.» OnaLi h— i=5, A = 6, d'où S*sâo,2 et /'==5,5. Ainsi, diflfér. t'".... 5,5 . 5,7 . 5,9 . (1,1 . 6,3 . 6,5..... Série demandée 7 . i*»5 « 18, a . a{,i . 3o,a . 36,5 . 4&...
ïNTEUPOLAffON. gt)
des Tems, tels que l'asc. dr., la déclin., la latit., la lon^it. , qui s?y trouvent de a 2 en 1 2 heures, on aoit faire A= 12*, savoir ,
(i)...^»-^.+ I2»a+ a ia, a+ 3 3 (23 a....
Les A* et leur coeffi. sont si petits, qu'on les néglige ordinairement, c.-à-d. qu'on suppose les diff. 3es constantes. On ne fait par là aucune erreur sensible; et même le plus souvent on borne la suite aux a9 sans nul inconvénient. Nous suivrons tour à tour ces deux suppositions.
79 .1. Les différ, 3** étant constantes. On prend dans la Conn. des Tems quatre arcs lunaires consécutifs M, M', M", M", faisant en sorte que l'arc demandé soit situé entre les deux intermédiaires M', M"; on en prendra les diff. ire*, 2e* et 3e*, et il sera facile de voir que la correction que M' doit subir pour être propre à l'heure proposée t est donnée par la formule
en prenant A1 = V intermédiaire des trois diff. premières,
ç = le quart de la somme des deux diff. secondes.
En exprimant I, / — 6*, i — 12', en secondes, on prend pour les
constantes les complémens arithmétiques snivans :
c. log 1 2* = 5. 5645 1 63 , c. log i2a= 10.72903, c. log 123 = 14.09355.
Voici le tableau des opérations à faire :
Termes.
M, Diffir".
M', a, Diff 2e».
M", b=*1, i=j — a, Diff 3".
On trouve souvent commode de donner à l'équ, (2) la forme suivante :
en faisant A= a'— <p + ttA3,
B = *-iA*,
C = *a'- Quelle est l'asc. dr. de la Lune le i3mai i83i,à 9*1 7' i8"=f, temps vrai à Paris? On tire de la Conn. des Tenu
Aic.dr. £.
Le ia, minait.. 6{o 41' 4" Diff. !*•».
Le i3, midi.... 72.31. 8= M', + 7*>5</ 4" Dig.tf*. Diff.3".
Le i3, minait.. 80. 23*.54 A -=+7.52.46 + 2'42* A» =
Le 14, midi.... 88.16.43 +7.52.49 -f- o. 3 — *'$9")
d'oa * = + 4i*,25, A=7o5i,5i*,5o, B = + 8i«,o, C= — a6*,5.
Const 5.3645i63 10.72903 i^.og355
A 4«45i96ag-f B.... 1.90849+ C... 1-42325—
