cosz

Nombre = 1,191902 z = 76*2/8//,i.

Ce résultat s'accorde avec ce qu'on a vu page 1 75.

i35. L'équ» (i3) ne se prête pas au calcul logarithmique, et l'on peut la préparer pour cet usage, mais sans qu'il en résulte un avantage notable. Voici ces formules tirées des équ. (1, 3 et 5), p. 7:

tang Q = cot D cos/?,

sin D cos (<b — c) COS£ = ^- -.

cos<p

Soleil observé le matin : comme en passant du cercle horaire AP à PB, situé de l'autre côté du méridien , k même distance, l'astre s'est rapproché du pôle en * , il ne se retrouve pas sur le cercle horizontal ANB, c.-à-d. à même hauteur, lorsqu'il est arrivé sur le cercle horaire PB, qui est à même distance du méridien , et il doit continuer a descendre jusqu'en C, pour y atteindre.

Or, le cercle horaire PC n'étant pas , comme PB, à la même distance horaire du méridien que PA, la moitié de l'angle APC, n'est plus l'angle MPB = MPA =p , et en diffère d'un arc que nous devons calculer.

Le matin , l'angle horaire estp \ le soir il est /? -f-« , et l'angle APC = %p + « , dont la moitié est p + { « ; en sorte que pour cjue cette moitié , ou la moyenne { (*-f- f'),soit réduite à p , il en faudrait retrancher |«; ainsi x = — £« est la correction que doit subir cette moyenne, et l'heure de la pendule à l'instant du passage est

Pour trouver l'arc «, soient ZA = Jz = dist. zénith, du Soleil , D sa déclin, quand il est en A , l la latitude du lieu, dont l'arc PZ est le complément , ou PZ = go0 — /.Le triangle PZA, d'après la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérîque ( 33 , page 4) , donne

cos z = sin l sinD + cos / cos D cosp.

Dans le mouvement du Soleil, / reste constant, ainsi que z qui redevient le même en C ; mais D et p varient ensemble, savoir: D de ï, etp de et. Pour obtenir le changement * quep éprouve quand D croit de /", il faut donc remplacer dans notre équ. p par p +*, et D par D + £ En développant et retranchant l'équ. précédente, il vient

(sin / cos D — cos Z sin D cosp)ï= cos / cos D sin/? . «g.

a et l sont de petits arcs exprimés en secondes. Soit v la variation diurne, aussi en secondes, qu'éprouve D,dans le temps

compter i3A , \lff . . . au lieu de i&, a*,. . . Si la marche de la nontre s'est conservée uniforme dans cette durée , le temps écoulé pour aller de A en B est donné = t' — I , et l'astre a parcouru ÀB, ou le demi-angle APB , dans le temps {t' — £ t. Ajoutant l'heure t où l'astre était en A , on voit que l'instant du passage en N est arrivé quand la montre marquait l'heure

Pour la précision , il convient que l'astre observé soit au moins à 12 heures de distance du méridien; et plus l'astre est éloigné de ce plan (plus il s'approche an premier vertical) , plus l'observation est exacte, parce que le mouvement vertical a plus de rapidité. Il est donc préférable de porter l'observation sur un astre qui soit vers go° de distance azimuthale du méridien.

Quand on observe une étoile , en comparant l'heure H que donne le calcul avec celle à laquelle on sait que le passage doit réellement se faire (n° 1 1/\) , on connaît l'erreur de la montre ; et s'il s'agit du Soleil , on a l'heure qui était marquée à midi vrai , du moins à une petite correction près , dont nous parlerons bientôt.

On est dans l'usage de prendre , des deux côtés du méridien, plusieurs hauteurs successives , et de noter l'heure de chaque observation* Dans ce cas , il est commode de placer successivement l'alidade de l'instrument sur des graduations équidistantes, qui procèdent , par exemple, de 1 o' en 10', et d'attendre que l'astre se présente au fil horizontal de la lunette. Mais il faut bien remarquer qu'il n'est nullement nécessaire que ces graduations désignent des hauteurs véritables de l'astre ; car c'est un avantage propre à la méthode que nous exposons ici , qu'il est inutile de connaître ces hauteurs' absolues , pour obtenir l'heure indiquée lors du passage , et qu'il suffit que les hauteurs soient respectivement les mêmes des deux côtés du méridien. Seulement quand l'instrument est réglé par un niveau à bulle d'air , il faut avoir grand soin que les indications de cette bulle, sur son tube, soient exactement les mêmes dans les deux observations correspondantes.

l88 HAUTEURS CORRESPONDANTES.

Lorsqu'on suit ce procédé , t désigne dans notre formée Ii moyenne des heures d'observation ayant le passage, et t' la moyenne après.

137. Voici un exemple, dans lequel on voit que les diverses valeurs de H ne sont pas rigoureusement les mêmes, comme cela devrait avoir lieu : la cause en est dans les petites erreurs d'observations, de réfraction , etc. On rend le résultat indépendant de ces défauts en prenant la moyenne des nombres H pour valeur exacte.

Hauteurs.

Est.

Ouest.

Sommes.

33ha8'57w3

Moyenne..

Moitié H =

L'astre observé était le Soleil ; en sorte que la montre , à midi vrai, aurait retardé de i5' 3o",22 sur le temps vrai; mais il y a une correction à faire, dont nous allons bientôt nous occuper.

Si l'on eût observé une étoile, il aurait fallu calculer l'heure vraie , moyenne ou sidérale de son passage (n° 1 14) 9 et y comparer la valeur trouvée de H , pour en conclure l'avance ou le retard sur le temps vrai, moy. ou sidér. Mais il arrive rarement que l'on prenne des hauteurs correspondantes d'étoile, parce que ceux de ces astres qui sont le soir loin du méridien ne peuvent souvent être vus de nuit quand ils reviennent le matin à même hauteur; aussi cette méthode ne s'appliquet-elle guère qu'aux observations du Soleil.

1 38. Le plus souvent on sait à peu près quelle est l'avance a de la montre sur le temps moyen ; pour se préparer à l'observation du Soleil, le soir , il convient de connaître l'heure de la montre où il faut se rendre attentif, afin de ne pas se fatiguer à Vat-

tendre trop tôt, on courir le risque de manquer l'astre en l'observant trop tard.

Soit t l'heure du matin indiquée par la montre ; il sera en effet t — a de temps moyen , et t — a — e de temps vrai , e désignant l'équation du temps (n° 108). La distance au méridien, en temps, sera donc 12e— * -f- a + e , qui est par conséquent l'heure vraie du soir où le Soleil se retrouvera à la même hauteur que le matin. L'heure moyenne sera donc 1 2*— t-\-a -f- 2e : la montre qui avance de a marquera en effet 12*— t -f-2a+2e, ou plutôt

Lorsqu'on observe une étoile, on fait e=o, et l'on a

pour l'heure de la montre, lors de l'observation correspondante.

Ainsi, dans notre exemple, prenons la dernière observation du matin, *= 7*57' 14* j car celles du soir se font en remontant» attendu que l'astre descend sans cesse, et que c'est la plus grande hauteur qui doit être vue la première, tandis que le matin, elle était la dernière. On présume que, la montre retarde d'une minute , a = — 1\ On a l'équ. du temps e = — \l[ 27* ; a-\-e= — i5r27*r; le double est — 3o' 54* ; ainsi

L'heure de la hauteur correspondante est 3. 3i .52 .

Cest quand la montre marque environ 3*3i' qu'il faut se préparer à l'observation.

139. Toute cette théorie suppose que l'astre conserve sa déclinaison constante , et comme celle du Soleil varie du matin au soir, la valeur de H doit subir une correction que nous allons trouver. •

PM (fig. 19) est le méridien , Z le zénith, P le pôle, A le

IQO HAUTE LMS CO&&ESPOKDA5TES.

Soleil observé le matin : comme en passant du cercle horaire AP à PB, situé de l'autre côté du méridien , a même distance, l'astre s'est rapproché du pôle en * , il ne se retrouve pas sur le cercle horizontal ANB, c.-à~d. à même hauteur , lorsqu'il est arrivé sur le cercle horaire PB, qui est à même distance du méridien , et il doit continuer a descendre jusqu'en C, pour y atteindre.

Le matin , l'angle horaire est/? ; le soir il est />+* , et Pangle APC =2/? +«, dont la moitié est /> + ?«; en sorte que pour que cette moitié » ou la moyenne i (*«+■ 0>*oit réduite à p , il en faudrait retrancher £«; ainsi jr= — £« est la correction que doit subir cette moyenne, et l'heure de la pendule à l'instant du passage est

Pour trouver Parc*, soient ZA = J8 = dist sénith. du Soleil , D sa déclin, quand il est en A , /la latitude du lieu, dont l'arc PZ est le complément , ou PZ = go° — /.Le triangle PZA, d'après la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique

( 33 , page 4) > donne

cos z = sin / sin D -f- cos / cos D cos p.

Dans le mouvement du Soleil , / reste constant, ainsi que z qui redevient le même en C ; mais D et p varient ensemble, savoir: D de ï, etp de et. Pour obtenir le changement * que j? éprouve quand D croit de /", il faut donc remplacer dans notre équ. p par/? + * , et D par D + ^. En développant et retranchant l'équ. précédente, il vient

(sin / cos D — cos / sin D cosp)ï = cos / cos D sin p . «.

a et l sont de petits arcs exprimés en secondes. Soit v la variation diurne, aussi en secondes, qu'éprouve D,dans le temps

écoulé t' — 1 = 21, le changement est donné par celte proportion

a4Mi'::afl:^=-nr^:

la durée 6 est exprimée en heures et fractions décimales.

D'un autre côté, Parc * devient des. secondes de temps, en changeant et en i5* (n° 70) ; ainsi l'on a, en temps,

<t = -£- ( -^ tangD cot p \

100 \ gin/? ° rJ

On prend pour l'arc p la demi-durée écoulée 8, traduite en degrés ; D est la déclin, à l'instant du passage. Comme <t est fort petit, la valeur n'est pas sensiblement altérée par ces hypothèses. Ainsi il vient pour la correction x = — {et,

-K(-«-«»-afr

i°. D est la déclin, du Soleil à midi pour le jour et le lieu proposés; on la tire de la Conn. des Tems, en suivant le principe donné n° 29. On prend D en — quand l'astre est dans les signes inférieurs. La latitude /du lieu prend anssi le signe— -dans l'hémisphère austral.

20. e est la variation diurne en déclin. , donnée dans la colonne différence de la Conn. des Tems. Il convient de prendre pour fia moyenne entre les variations diurnes des deux jours consécutifs que le midi sépare (*). On donne a c le signe — quand l'astre s'éloigne du pôle boréal.

3°. 1 = { (*' — t) désigne la demi -durée écoulée, qu'on exprime en heures de temps vrai et fractions décimales ; mais on traduit 6 en degrés sous les signes cot et sin. On a sin ô positif, et cot é prend le signe — quand ô> 6*. Si la pendule a une

(*) Le Jog. de iv est donné pour chaque jour dans les cables astronomiques de M. Schumacher. La Conn. des Tems recevrait nnc addition utile à P Astronomie et à la Navigation si elle contenait ces logarithmes, qui facilitent beaucoup divers oalcnls. {V. note p. tfi.)

marche très différente de celle du Soleil, il faut ramener l(£ — /) à être exprimé en temps vrai (n° 102 ).

4°. Quand la première observation est faite le soir , et la seconde le lendemain matin, le passage se fait au méridien inférieur (a minait); D est la déclin, du Soleil à cet instant, v est la variation de déclin, de l'astre entre deux midis consécutifs, et le dernier terme de la valeur de x prend le signe -f- , au lieu de—.

Reprenons l'exemple précédent, qui est du 17 octobre 1897. O* a 'e temps écoulé = 7b {</ 3o"- ainsi,

v = — aa' 4#,5 = — i3a4",5, D 1= - 9° 4' i5'.

v .... 3.iaao5 — cotô... g.8o3i4 umg/. o.o55o5 19* o3

c.36o. 3.44^70 tangD. 9.00317 — fin 0— 9.92633 1,43

A.. .1.14^74— o.i56o5 -f- 1. 27936 jr=+ao,46. • 1" terme... i*,43. 2«... 19,03.

Or, la moyenne des heores observées est H = 11*44' 29*78

Correction.... x = rf- ao,46

Heure marquée , par la montre , au passage 1 1.44*5°>*4

Temps moyen à midi vrai u. 45. 33, 20

Montre retarde sur le temps moyen — 4a>9^-

i4<>. Gomme ce calcul est assez long, on construit , dans tous les observatoires fixes , une table de corrections x pour ebaque valeur de 6 croissant de 1 o' en 10' de temps , et pour la latitude du lieu. On a alors

x = mv tang D — nv,

0 cot ô 6 tanc /

enposant m = -g-, n = ^ ^ >;

et la table donne les valeurs de m et n pour chaque temps écoulé 6.

i4i. Lorsqu'il arrive qu'à l' inétant où l'on devrait observer la hauteur correspondante , les nuages, ouïe défaut d'attention, font manquer l'heure de l'observation , on la fait quelques instans plus tard ; on trouve aisément,

1*. De combien l'astre descend dans un temps donné ;

2°. De quelle hauteur il s'en manque qu'on n'ait observé celle qui était correspondante.

Or , le mouvement de l'astre dans le sens vertical est sensiblement uniforme et proportionnel au temps , dans une courte durée et loin du méridien. On peut donc connaître, par une proportion, de combien de minutes la hauteur correspondante précède celle qu'on lui a substituée, et la faute se trouve réparée.

Cette remarque est surtout utile en mer , parce que l'usage du sextant ne permet guère de saisir le Soleil juste quand il est le soir a la même hauteur que le matin. Mais on la prend le soir a peu près égale à celle du matin , et l'on mesure la vitesse verticale de l'astre , par le temps qu'il met à descendre d'un petit arc déterminé.

Avec le cercle répétiteur, on rencontre les mêmes difficultés, lorsqu'on veut le faire servir à la mesure de/ hauteurs correspondantes.

Pu* exemple , après avoir observé le Soleil à 8** io' 45",6 du matin , le soir on a pria la hauteur trop tôt, et celle qu'on a mesurée s'est trouvée plus grande de 3o' d'arc } on l'a prise à î5hi3'34w4

Pour la rendre correspondante à la i", on en mesure une antre nn peu plus tard , et Ton trouve que pour descendre de iof d'arc, l'astre emploie i' i4",5 de temps j partant , il lni fastt pour $(/ 3.43,5

La hauteur correspondante le soir était donc a i5. 17. 17,9

Celle du matin était à • • 8.10.45,6

Somme 23.28. 3,5.

Donc la pend a le marquait au passage 11. 44* ^7^,

sauf la correction x , qu'on peut aisément calculer.

Au reste, on trouve que, en <p secondes de temps, un astre monte verticalement de s secondes d'arc

s sln z= \5 <p cos l cos D s in ô.

{V* n° i63 , ou cette formule est démoutrée.) z est la distance zénithale de l'astre, l la latitude du lieu, D lu déclin., ô l'angle

ig4 HAUTEURS CORRESPONDANTES»

horaire* Mais cette équ. ne détermine s que quand la valeur de z est connue, et nous ayons déjà fait remarquer que l'avantage principal de la méthode des hauteurs correspondante* consiste à ne pas avoir besoin de connaître s.

142. Cette théorie suppose que la réfraction astronomique est égale lors des observations à l'est et à l'ouest ; mats c'est ce qui n'arrive presque jamais , attendu que le baromètre et le thermomètre varient sans cesse. Le résultat doit donc subir une petite correction , surtout si l'astre a été observé près de l'horizon : c'est ce qu'on a toujours négligé de faire , mais la précision exige qu'on en tienne compte. Voici comment on calcule cette correction.

Soit h la hauteur vraie a l'est , r la infraction ; lia hauteur apparente est h -f- r. On a de même h! •+• r* pour «elle qu'on observe à l'ouest, et la condition prescrite est que

é + r=h' + / ou A = *' — (r— r').

Supposons r^»/. On voit que la hauteur A' à l'ouest est trop forte de r — r' pour être la même qu'à l'est; la réfraction a fait juger l'astre à égale hauteur des deux parts , tandis qu'il aurait failli le laisser encore descendre vers l'ouest de r — r', pour que sa position fût rigoureusement correspondante ; on Ta observé trop tôt. L'heure indiquée par la montre doit donc être augmentée du temps c, nécessaire pour que l'astre puisse descendre de r — /.

Mais on a pris, à l'est, plusieurs hauteurs successives» et l'on a trouvé le nombre s de secondes d'arc que l'astre décrit verticalement dans un temps r; une proportion donne le temps pour décrire l'arc r — / ;

Telle est la correction à faire à l'heure de la montre lors de l'observation à l'ouest. Bien entendu qu'elle devient négative quand K > r; alors l'astre a été observé trop tard à l'ouest. Prenant la moitié, on trouve

LATITUDES TERRESTRES» ro5

quantité dont il faut corriger l'heure H , p. 187, puisque la moyenne des heures doit être augmentée du 4e terme de la proportion , et que H est la moitié de cette moyenne.

Ce procédé exige , il est Vrai , pour avoir les réfractions r et /, qu'on connaisse la hauteur de l'astre , ce qui paraît ôter à la méthode un de ses avantages , puisque cette hauteur n'était pas nécessaire à connaître. Mais , outre qu'on ne peut , sans erreur, négliger Ja réfraction, il est clair qu'on n'a besoin de connaître cette hauteur qu'à peu près; car un défaut dans cette hauteur influe très peu dur l£#ifieY. f-*-r* dès réfractions,

Dans nôtre exemple du n° i3^, prenons les diff. des hauteurs et des heures extrêmes ; nous voyons que le Soleil parcourt 5o' de hauteur verticale eri 5'57*,b de temps. Ainsi, $ = 3000" et TiHz 367*. La hauteur était to°; le baromètre et lé ther** mometre marquaient 757"** et 120 le mâtin, *j*]omm et 3° lé Suit; oh en tiré {t>a8e84) r — 3i6%2, >*' — 332",g,

r/ = -.6,7, et c = !^-U=-<>>>99: a

faut done diminuer de cette quantité la moyenne H. Il est facile d'en conclure qu'aies la correction x , p. 1 9a , l'heure de la montre, à l'instant du passage /est n*44'49"'2^» et qu'elle avance de 43">95 sur le temps moyen.

Sur la détermination de la latitude du lieu par des passages

méridiens.

i43. Par les doubles passages des circompolaires. Cette méthode, pour obtenir la latitude, est la meilleure de toutes, parce qu'elle est indépendante de la déclin, de l'étoile, de l'aberration et de la nutation, et que les erreurs des réfractions sont très {>eu influantes. Elfe consiste à observer les ha ik*»r s ra\ ro (fig. 20) d'une circom polaire à son double passade aulmérirfien supérieur et inférieur en à et a' > avec un mural, ou tout autre instrument €f*ii soit exactement dans ce £lan. On j*eut

ig6 LATITUDES TERRESTRES.

aussi se servir du cercle répétiteur, en procédant ainsi qu'il sera bientôt expliqué n° i/±5. On corrige les deux hauteurs observées de la réfraction, et leur moyenne est pr9 ou la latitude demandée /.

Soient h et h' les hauteurs , r et r les réfractions , on a

Si l'on a observé za, ta! , ou les distances zénith, z et z* y la colatitude c sera

L'erreur des réfractions peut influer sur le résultat ; mais tant que l'étoile ne s'approche pas à plus de i5 à 200 de l'horizon, il y a très peu de différences entre les tables des divers auteurs.

Supposons qu'en février i83o,ou ait mesuré les distances zénithales «ci après f de ^ petite Ourse, à Calais, le baromètre marquant 764mm,5 et le thermomètre centigrade + io°à la culmination inférieure, et qu'à la supérieure ces instrumens aient donné 764ram et «+■ 4°- Voici le calcul des réfractions, suivant notre table ( v. p. 84 ) :