io° 1.983a +4° t'isP

Moitié. . . c = 39. 2. 28,0 Corapl... / = 5o.57.32,o.

On peut même tirer de là la dist. polaire /sa de Pétoile, puisqu'elle est la demi-diff. des dist. zéuith. corrigées de la réfraclion. On trouve ici d= 3° 24' 51?$.

i44» Par de* hauteurs méridiennes simples. Soit pzn le

LATITUDES TERRFSTRES. I97

méridien ( fig. 20 ), kn l'horizon . z le^énith , p le pôle, kc l'équateur, 9 ou s un astre au méridien, se ou sd sa déclin. D, spoa s'p sa distance J au pôle, complément de D; l'arc en est l'inclinaison de l'équateur ou la colatitude , 00m pi. de la latitude cherchée /, en =pz = c = 900 — /.

On mesure la hauteur h de l'astre s ou s\ ou sa distance z au zénith; on corrige de la réfr. et de la parallaxe : il est clair qu'on a en =. sn — se. Et si l'astre est en s', au-dessous de l'équateur , on a en = *'/i «+- *'c. Cette dernière équ. revient à la précédente, en prenant la déclin, négative, quand elle est australe. Ainsi , 900 — / = h — D , d'où /= 900 -f D — h. Donc , à cause de ^ = 90° — D. « = 90° — h, on a

/=sgo° 4- D — h = z + D = 90° + z — d = i8o° — h — d. (1)

On donne à D le signe — quaud la déclin, est australe.

Ces formules supposent que l'astre passe au méridien du côté du sud, entre le zénith et l'horizon. Mais les étoiles circumpolaires ont deux passages, l'un en a au méridien supérieur entre le pôle et le zénith , l'autre en a au méridien inférieur entre le pôle et l'horizon boréal. Les hauteurs méri— <. (Tiennes sont rcl ou ra , les distances zénithales az ou az. Le même raisonnement que ci-dessus conduit à l'équ. /= h zç d, — dans le Ier cas, -f* dans le dernier.

Donc , àà passage d'une étoile circumpolaire entre le pôle et le zénith,

= 90° — z — d= fc-+-D — 900; (2)

et entre le pôle et Vhorizon boréal,

l=h + d=z$o°+d — z = go° + h — D=i8o°-z — D. (3)

Pour reconnaître, à l'inspection du ciel , lequel de ces deux, derniers cas a lieu, on se figure un arc qui de la polaire va à c de la queue de la grande Ourse ( v. fig. 2 } ; cet arc passo sur le pôle , près de la polaire.

ig8 LATITUDES TERRESTRES.

La méthode que nous Venons d'exposer est extrêmement commode pour àtoir la latitude du lieu, parce que Fobservation est facile, et l'on n'a besoin , pour ainsi dire, eYaueimcat<cnl. Il faut corriger z ou h de la réfraction et de la parallaxe; calculer d ou D, en ayant égard à la nutatton-, à l'aberration et à la précession.

Les marins se serrent beaucoup de ce procédé. Ils observent le Soleil pour en obtenir la hauteur à midi vrai , et comme dans les instans voisins, cette hauteur varie peu, une; petite erreur sur l'heure de la montre à midi vrai n'influe pas sensiblement sur le résultat. Ils trouvent les élémens du calcul dans la Conn. des Tems, en estimant à peu près l'heure contemporaine de Paris (v. n° 29) , d'après la longitude approchée du lieu. S'il s'agit d'une étoile , il faut d'abord connaître l'heure du passage ( n° 1 *4 ) , et celle de la montre au même moment, afin de saisir l'astre à cet instant.

Remarquez' que le Soleil présente beaucoup plus de facilité que les étoiles, parce qu'on n'a pas besoin de faire des corrections de précession , natation et aberration , et qu'il n'est nécessaire que d'avoir égard à la réfraction et à la parallaxe de hauteur.

Étant en mer à ah 1 5' environ de longitude est, on mesure une banteor du Soleil à midi vrai, le a5 octobre i83o , et Ton tronve qu'elle est 33° 3o/ 7"; en la corrigeant de In réfr. — parai 1. , cette hauteur est rechute à

On compte alors a Paru ph $5' du matin, et la déclin, de la Conn. des Tems (1a© i' 45" A) devient. D = — 11 .59.47,6

L'éqn. / = 9o°4-D — h donne /= 44*3a-35,g.

i45. Par des hauteurs circomméridiennes , c.-à-d. l'astre étant observé près du méridien.

Le plus grand inconvénient de la méthode précédente est de ne donner qu'une seule valeur de la latitude, parce que l'astre ne peut être observé qu'à l'instant où il traverse le méridien. Le procédé que nous allons exposer est dû à Delambre;

il n'exige pas que l'astre soit dans le Méridien , et par conséquent permet de répéter les observations pendant on certain temps ; chacune donne une valeur de la latitude ; ces valeurs doivent très peu différer entre elles, et leur moyenne est considérée comme indépendante des erreurs d'observation.

Le pôle est en /? ( fig. 21 ) , le zénith en z , pzrno est le méridien , s un astre près de ce plan , m le lieu où cet astre y entre ,ps son cercle horaire. On a mesuré la hauteur H = « de l'astre en s, ou sa dist zénith. Z=r zsf que nous supposerons corrigée de la réfraction et de la parallaxe, comme on l'a dit n°* 68 et 91 : il s'agit d'en conclure la hauteur ou la dist. zénith. , quand l'astre est en m au méridien. On a visiblement

ps = pm = d= 900 — D , /?z = go° — /, zm =pm — pz = ps — pz = / — D.

Du centre z, tracez un arc so ; vous avez ts =.zo. Le point o est à même hauteur que s : faites mo = xf quantité dont l'astre doit encore monter , partant de s , pour atteindre en m au méridien ; et calculez d'abord ce petit arc x , pour en con-> dure la hauteur méridienne de l'astre, et par suite la latitude du lieu.

La Trigonométrie sphérique donne, pour le triangle/?*** ( équ. 33, p. £),

cos zs = cos pz. cos ps -+- sin/w&.sin/tt.cos/? = sin / . sin D -f- cos / . cos D . cosp .

Mettons 1 — 2 sin* \p pour cos/?;

cos zs = sin l sin D + cos / cos D — 2 cos / cos D sin* { p = cos ( / — - D) — 2 cos / cos D sin* \p.

Or, zs = oz — zm + x ; le Ier membre devient donc

cos zs — cos x cos zm — sin x sin zm

= (1— £x')cos'(/— D)— xsin(/ — D),

en développant par les sériés (»4 et 2^) ; P*£e 3, savoir

cos x = i — J x*, sin 4f^=* , car x étant très petit , on peut négliger les troisièmes puissances de cet arc. En égalant donc ces râleurs de cos zs, réduisant et changeant les signes , notre équ. devient

£** cos(/ — D)+xbin(/ — D)=2cos/cosDsint~/>. (A)

Cest de cette équ. qu'il s'agit de tirer la valeur de l'inconnue x. D'abord nous en négligeons le carré, savoir le i'r terme de l'équ. qui est fort petit , et nous avons, pour première approximation ,

2 cos / cos D . . .

sin (/ — D) %r

On a visiblement (n° 1 44) ' ^ — D=la dist. zénith, z de l'astre lorsqu'il est au méridien = 900 — la hauteur méridienne h. D'ailleurs , x est ici la longueur d'un arc pris sur la circonférence dont le rayon est un : pour l'exprimer en secondes, il faut changer x ertx sin 1" (v. p. 3); ainsi on trouve pour le nombre de secondes de l'arc x ,

2 sin* l p cos / cos D

sin 1 cos ii

le second facteur reste constant pour toutes les valeurs de/?, c'est-à-dire pour toutes les observations qu'on fera près du méridien ; le i<r facteur varie seul ; faisons *

sin i v

et nous aurons

. cos / cos D ,„K

cos h

On peut ici remplacer cos h par sin z.

Pour la facilité du calcul , on réduit les valeurs de (B) en table, d'où l'on tire à vue celles de k qui répondent aux angles horaires/?; c'est-à-dire que connaissant la distance p de l'astre au méridien, en temps, on trouve k: c'est la table X des réductions au méridien. {V. n° 287.)

LATITUDES TERRESTRES. 20l

On introduira ce nombre k dans la formule (C); un calcul très facile fera donc connaître la correction x , qui ajoutée à la hauteur H observée en 5, ou retranchée de la dist. zénith. Z, donnera la valeur de h , ou de z , qui est celle de l'astre quand il est au méridien même, savoir :

h = B. + xt

Gela fait , l'équ. (i) , page 197, donnera la latitude / ; car on retombe sur la théorie du n° i44> et l'OD est dans le même cas que si l'astre eût été observé au méridien sud.

Ordinairement on prend plusieurs hauteurs successives (¥) H', H", . . . , et l'on note les heures *,!*,..., qui s'y rapportent. Chaque hauteur comporte sa correction x , xnf. . . qu'on calcule comme il Tient d'être dit ; d'où résultent autant de hauteurs méridiennes H'-f-a:', W + x",. .. qui doivent être très peu différentes les unes des autres: la moyenne entre n observations est considérée comme compensant les erreurs; elle est

= la moyenne H entre toutes les hauteurs

+ la moyenne x entre toutes les corrections.

De ces deux parties, la 1" H se lit sur l'instrument dont on se sert pour observer (du moins en corrigeant de la réfr. et de la parallaxe); quant à la seconde , comme le facteur k dans l'équ. (C) varie seul avec/?, il faudra prendre pour k la moyenne entre }es valeurs k', k"9. . . qu'on tire de la table X en correspondance avec les divers angles horaires/?',/?",. . . ; cela suit

, cos / cos D . . . ,

de ce que = — est un facteur commun de toutes Iesquan-

. cos h ^

tités *',*",....

(*) On peut continuer les observations tant que, pendant i" de temps, U hauteur ne chnnge pas de plus de 1 " d'arc.

i46. Ainsi, 1*. on observe diverse» bautears ou dist. zénith, consécutives d'an astre près du méridien, tant ayant qu'après son passage , et près de ce plan ; on note les heures correspondantes indiquées par la montre.

20. On calcule l'heure du passage de l'astre ( c'est midi vrai, quand il s'agit du Soleil) , et l'on en conclut l'heure P que doit marquer la montre à cet instant, d'après sa marche connue (n# 102).

3°. On prend les différences entre cette dernière hetifc% P et les heures t %t %... indiquées pour chaque observation; ces dtfTér. sont , en minutes et secondes de temps , les valeurs des angles horaires/?,/?",. . . ; ces angles servent à trouver, par la table X, les nombres k'f A9,. . . : ce sont autant de réductions an méridien ; leur mo venue est la valeur de k qu'il faut introduire dans l'équ. (C) pour obtenir la correction x.

4°. Pour calculer x, il faut observer que l'équ, (Q contient la latitude /, et la hauteur A, ou la dist. zénith, z de l'astre au méridien , qui sont précisément les inconnues de la question. Mais on y emploie pour / une valeur approchée, qui est toujours connue, ne fût-ce que celle qu'on tire des équ* (1 , p. 197) en y prenant pour h ou z, les arcs obtenus par les observations, et considérés comme étant ceux qui subsistent au passage méridien. Et quant à h ou z , on tire cet arc de la même équ., savoir :

Ces valeurs approchées ôtent, il est vrai, au calcul sa précision ; mais comme le coefficient k est un très petit arc, il est permis d'altérer un peu l'autre facteur, sans changer sensiblement le résultat , sauf à recommencer ensuite le calcul , avec la valeur de / à laquelle on a été conduit.

5°. Enfin , une fois qu'on connaît la correction x que doit subir la moyenne H ou Z, les équ. (D) donnent la hauteur h, ou la dist. zénith, z , qui répond au méridien , l'astre étant m. Il ne reste plus, pour avoir la latitude cberchée /.qu'à introduire pour h , ou pour z, sa valeur dans l'équ. (1) du »° i44«

Bien entendu que H ou Z est corrigé de la réfraction ( en

LATITUDES TERRESTRES. 2û3

ayant égard au» baromètre et au thermomètre, comme on l'a dît n° 68) et de la parallaxe ; que la déclin. P prend le signe — quand elle est australe ^ çt qu'enfin , si Ton a observé une étoile, on en corrigera l'asc. dr. et la déclin, des précession , natation et aberration^ corrections qui sont toutes faites, pour le Soleil , dans la Conn. des Tems.

II n'est pas nécessaire que jl'heure soit connue avec une extrême précision, et pourvu qu'on ait pris un égal nombre de hautenrs avant le passage qu'après, le résultat sera toujours sensiblement exact. Les observations faites après le passage répondent , il est vrai , à des valeurs négatives de p *, mais comme £ contient le carré dessin ±p, les nombres k' % k"}. . . sont toujours positifs des deux côtés du méridien.

On voit que, par ce procédé, on obtient pour l une quantité égale à la moyenne entre toutes les latitudes qu'on aurait déduites des diverses observations , comme si l'on eût tait en entier , pour cbacune , le calcul de l'équ. (C); c'est donc comme si plusieurs astronomes avaient observé ensemble l'astre dans Je méridien, et le résultat doit être considéré comme exempt des erreurs commises, dans toutes ces observations. •

i47* Nous avons supposé que l'astre passe au méridien du côté du sud; mais, ponr les circompolaires , il faut examiner si ce passage est supérieur ou inférieur ; car, suivant les cas , on doit choisir entre les équ. (2) ou (3) du n° i44- Le passage se faisant en a' (fig. 20) entre le pôle et le zénith > il n'y a rien à changer à l'équ. (D), e» se conformant d'ailleurs à l'équ. (2), p. 197; mais s'il a Weu entre le pôle et Vhorizon boréal en a, les équ. (D) exigent qu'on prenne x en signe contraire, attendu que PàStré entre au méridien en descendant, au lieu de monter ; on se sert alors de Féqu. (S). Ainsi, il faudra employer dans Féqu: (C) , pour h ou z , la valeur ci-après",

i°. Ponr le passage ducÔié du sud , on a