ao :36,33g

G>nmie les à’ sont très petits, il est permis de les considérer pomme constàns dans chaque intervalle. Àinsi-, appliquant la ii)éth(^e de la note p. 98, qn aura A = 10, 0,0011,

^ ~ o‘,5236, et il vient pour - '

ia6,7o3 •

ClC. ^ '

etc.

On a soin de pousser l’approximation un peu plusloin qu’il n’est nécessaire; on néglige ensuite la dernière décimale ,, qu’on n’est pas assuré d’avoir exacte. '

Qn voit que ce procédé réduit d’abord la table à un dixième de son étendue définitive, et qu’on I9 complète ensuite par uhe interpolation absolument semblable à celle dont on ferait usage si la table<n’était d’abord composée quède lo.en lo secondes, et qn’on voulût trouver les nombres- correspondans aux secondes intermédiaii'es. . *

On trouve One autre application de ce procédé s la formation de la Table des cordes, dans notre Cours.de Math, pures, t. II , p. 5i8. C’est sur cette théorie qne nous a'vons composé la tablé Ae noire Goniométrîe. '' '

^ 287. H. Le second jû’ôcédé dont on fait usage pour réduiré en table une formule proposée y = f{x) , consiste à calculer d’abord directement mie valeur de répondant à une quelconque' donnée de X', puis à' déduire les nombres suivans y de proche en proche , pendant une certaine' étendue , par l’équ. de la page 97* après s’ètr'e procuré les a', a% . . .'par la différencialion de Véqu. y ==/(ar). On a

dy—f.Ax, dy =f. dx',,...

•4lO TABLES ASTRONOMIQUES.

11 est clair que si ilx est très petit, c’est-à-dire si l’.on ne met qu’un' très court intervalle entre les valeurs de a:, on peut prendre rfy, ... pour A', A’..', et ensuite appliquer la formule citée; sauf à simplineY* les calculs en prenant certaines précautious pout que A*, ou au moins A^, puisse être regardé comme constant. L’adresse du calculateur consistera ensuite à préparer les expressions djr, d’y... de manière à conduire à des opérations courtes et faciles. Et si les valeurs de x ainsi adoptées sont trop rapprochées pour la table qu’on veut composer, on re jettera aprèseoup les résultats qu’on ne veut pasy conserver, mais qui auront servi à trouver les autres. C’est surtout quand les A* sont -si petits qu’on peut les supposer nuis, que ce procédé rend leS opérations promptes et faciles.

Ainsi, pour ^ = log a: , on aura

djr =

Mdx

dy=-

Mrfx*.

M étant un nombre constant, appelé module'^ dont' nous avons donné la valeur page 3.’ '

Qr , si l’on fait rfx = i , la table des nombres x procédera d’unité en unité; et si x est très grand, rf’j" sera si petit, qu’on pourra le supposer nul. Ainsi, on sera en droit de prendre M .

a* = — , et pendant une .certaine étendue de la table, Ar* sera

vensé' constant, parce qu’en se bornant ap nombre Ilmitécledc- (dmales dont on a besoin, ces accroissemens de ‘x n’influent sur le quotient yS* qu’à des intervalles éloignés. Cet exemple est dé- ' veloppé dans notre Cours de Math., t. II, p. i8o. On y voit , * par exemple,, que poué x = loooi , on a rf' = 0,00004342^ , ainsi Iqg. 10,001== 4, oooo4^4'^^ même différence existera entre tous les log. même au-delà du nombre 10020, en sorte que, par de simples additions, dh trouve de suite 20 lôg. au moins«^u-de]à de 10020 , on prend eë nombre |K>ur x, et l’on calcule de nou^ veau a', qui donne 10 autres logarithmes, et ainsi dé suite'.

Reprenons notre équ. k ht sin’ {7 ïît), d’où

DIgItizecI by

' ^ tables astronomiques.;

sin ^x).,coa(^^x).’]idxs='j,5'mdyc sm(i5x)f

=^cos(i5a:).TO; 7,5. i5da:’ =ri i5*m<ir,* cos (i5:#) ; ’

' on fait dx = i*,‘ou plutôt — i X sin i *, pour exprimer l'arc en

secondes, etlt cause que m<fr == a, ‘

dk -=x i5 sin (iSla:) = , d^k a|= aaS shi i^.cos (i5x)' = i”.

Prenons, par éxemple, x = 8' , nous aurons = 0,624 et = 0,001 l'tiomme précédemment. On peut donc, en partant de a: = 8', calculer d’abord les nombres de la table de seconde . eif seconde > juçqu’à 8' i®*, comme bn l’a fait ci-ddll|mt; puis prenant le dernier résultat pour terme .de départ , et faisant X z= S' lo", dans les d^ et d* ci-dessus, en tirer les valeurs de • et qui serviront à continuer la série dix, rangs plus loin ; et ainsi de suite. '■ ,

288 Quant aux tables à double entrée, I’îoterpola)ion s’en fait comme il a ■ été expliqué p. 63. éomprend qu’on évite lé plusqù’ôn peut ces sortes de tables, parce quelles interpolations en soi^ difiBciles, à moins que les hombres n’y soient si rapprochés, que ce calcul sôit presque inutile. ^ ’

Et quant à la manière de composer des tables sur la formule =Mf(x,v^ , Il suit de ce qui a été expliqué qu’on compose chaque colonne qui répond à une valeur particulière de v,' . ce qui rédniti'pbur'cette'partie, la fonction à la seule Variable X, et par conséquent ramène la question à ce qui a été expliqué cidevant. U ne nous reste donc rien à ajouter à ce sujet. ,

On conçoit de roéine la' formation des tables dans le cas dé quatre variablesy = ^(*,«,1) :^aison n’y a jamais recours, parce qu’il serait impossible d’en disposer'’Ies içésultats dans les cases d’un parallélépipède. On doit donc décomposer la table en plusieurs autres ’îMont chacune se rapporte à une valeur pitrti- 4 ciilière de celle des’ variables qui se préteale mieux à cetje opération. '

4i2 ,■ ÉQUATIONS DE CONDITION. '

De la comphsilien des fortnules astronotitiques, et de la détermination des constantes ; Équations de condition pMéthodes^,

de J'obic Mar er et des moindres carrés. '

289. Les formates qù’on réduit en tables astronomiques so^t données par ta |^l\éoriefc l’iittraction j elles se composent d’élémensles unsconstans A, B,.C; . ■ : , les autres vaiûables^, 9,1;. . ■ c’est en attribuant ai ceux-ci les véleurs qui conviénnent aux circonstances, qu’on en déduit le lieii dès planètes'à chaque instant. . À , ’ , ' ’ . . '

' Mais ccji^supposc que les cqnstantes’sonl'cofanues dans liquation qu’onréduit en table : c’est l’observatioti qui en. fait connaître les valeurs. Expliquons comment çn les déterminé. i Supposons d’abord qu’il ait qu’une seule constante A inrcohnue dans' l’eqn.^ F (A , ^ , #...) = o , qui représente les circonstances d’un phénumbne. On fera une observation d’où l’on tirera les valeurs" correspondantes des .variables ô... ; substituant ces «lopibres , X’équ, de conditiçn F == o ne renfermera que la seule inconnue A , et l’on pourra en tirer la valeur.

Il est. vrai que 'Fobseévatlon' la plus atlantivb ne donnera pas, en toute rigueur les quantités Ù... , et que la valéur de A qui résultera du calcul ne sera pas exacte. Mais, ei^ répétant un grand nombrç dé fois .les expériences, tous des nombres A qu’on en tirera devront difiTérer très peu les uns des a^res : on rejettera même, comme défectueuses, les observations qai.doodimaient à 'de ^op fortes diCTér. ; prenant ensuite pour A la moyenne entre tous ces résultats très voisins , cette valeur sera indépendante des erreurs d’ôbservatioq , parce que'ces erreurs se compensent par leur multitude. C’est <%tte marche cpie nous . avons suivie dans tout œ qui a été, dit précéclemment. ' -

Supposons que l’équ. renferme plusieurs cxAistantes A, B, C.. dans l’éqü. F(p,d^... A, B.^.) = o, qui exprime la dépendance des éléraens du phénomène. On fera d’abord une observation propre ù faire connaître les valeurs simnllanées de^ variables , <,...; en substituant celles-ci, on aura une reiktion F sqo entre les seules constantes inconnues ; c’est ce qu’on appelle

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