ÉQUATIONS DE CONDITION

par  -4* a:,. B + j", C + *i — ; JKt *!••• étant lés; petites correctioàs qu’on veut trouver. Il est clair qu’on ëst autqrisé à en négliger les puissances supérieures, ce qui' donne ii l’é,qu. cette forme :

+ z| -!- . •==: TO. (1) ■

Cette relation est vüibleaientla düTérentielle de l’éqa proposée par rapport aux constantes A, B, C.... En posant xst=dji., z=<fCk-.. les inconnues sont ici x, z..,. Quant à ç, 9, J,.,, ce sont les variables da problème. .

, Qu’on fasse une' observation , pour en tirer des valeurs a, j5f c,.-.de ces variables, et l’équ. deviendra

-f" -|- cz -f- ■ • • = ■ (2)

Dç même, une a®, une 3'. . . observations, donneront

, ' dx + b' y -f- cz 4-. • • — m,

a"x 4- b"y 4- c"s 4“- .. =»», etc.

Et d’abord reibarquons que si l’on se procure ainsi aôtaiit d’équ. que d’inconnues x, j;, z. . . , on pourra en tirer celles-ci par y l’élimination, et perfectionner les s'aleiirsile A, B, C. . ce qui a déjà été fait en plusieurs, lieux de ce livre. Et s’il arrive que a soit très grand par rapport à é, c. . . ; qu’il en soit de même pour b' , à l’ égard de à , c'.. • et aussi’ de c", par rapport à'a"; 6^..., l’élimination sera très aisée à faire : car ne prenons, par ex., que deux inconnues ; noüs aurons ' .

, ^.n% br . m , a'x • •

-T» y = v--jr' *

Or , — et ^ étant supposés fort q>elits , le dernier ternie de

chaque éq|t est-négligeable poui® une première approximation :

. •' O ■ ' ' ' 1 ' 1 • 1 l” """ ' ' il V.

ainsi , faisant X = — , dans la 'valeur de y, on aurà celle-ci

prçsque^exacle j et cette valeur Servira à dpnner x avec plus de précision , etc. Ce procédé est celui qu’on a cm|ïlo}'é \*j io6.

4î4 MOINDRES ^CARRÉS.

La méthode de Tobiç Mayer consiste à tirer de l’observalîoa un grand nombre d’équ. de la forme (a), et à coi^nner ces équ. par addition, soustraction..., à multiplier quelqu’une d’elles par un nombre pris à volonté, enfin à s’arranger de manière que l’une, x, des inconnues ait seule un très grand coefficient dans l’équ. résultante. Une autre combinaison donnera de nicmè une équ. finale, où le coefficient de j" sera 'seul considérable, etc. On aura ainsi des équ. influencées par toutes les observations, et qui , jouissant de la propriété dont on vient de montrer l’usage, donneront les corrections x, jr,z. . . , et par suite, les constantes A, B , G. . . Celles-ci une fois connues, l’équ.' proposée F (^, 6. ^.)= o servira à donner l’nne quelconque des variables, quand les autres seront déterminées, et l’on pourra réduire cette formule en table. '

Il se peut que deux inconnues, x^, j', aient leurs coefficîens a, b, proportionnels et de même signe dans toutes les équ. de condition : alors on ne peut combiner ces équ. de manière à accroître a, sans augmenter aussi b. Mais on égale ax -\-bjr h. une lettre a , et ]’on traite cette quantité », comme une inconnue qui remplace ax r^bjr dans les équ. Quand toutes les inconnues sont trouvées , ainsi que », on fait deuit' sommes de toutes les équ. , et l’on a deux équ. qui suffisent pour trouver X et y.

293. Ce procédé est simple et asse* expéditif j les astronomes en -fpnt un fréquent usage. Mais quoique la méthpde des moindres carrés, imaginée par M Legepdre, donne lieu-à^des ^çalculs beaucoup plus longs, on la préfère ù cause de son exao ^itude. Cette m^tho’de cofqsiste à déterminet Ics^corr.ections X', y, Z,. • • , de manière que la somme des carrés de toutes les erreurs soii la plus petite possible. ' , ■

Que l’on ait trouvé par l’obseryatioK, amsi qu’on l’a expliqué ci-devant, des valeurs simultanées a, b, c... . , pour les variables jp, ô, 5..., qui entrent dans l’équ. (1) (où nquS transposerons ; Ü s’agira de trouver les. corrections x, y, z... de nos constantes, non pas , en rendant nulle la somme ax-{-by~\-cz. . .--f^m^ ce qui n^est q>as vrai en toute rigueur , jnais en faisant