CF

ferons e =:-—• = le rapport de l'excentricité au demrgrand

Axe, ft=X' aplatissement, ou le rapport de la différence des axes au grand axe, savoir : • .

à très peu près , on a e*=2/», fi = ^eyi

Soit M un point dont la<- latitude est'?; U tangente MT un ce lieu y représente l’horizontale*, la normale MN est la verticale, direction du iil-à- plomb, qui se prolonge an zénith Z «la hauteur du pèle céleste est l’angle K = OMN=MNB c’est la latitude / du Ueu , telle que la donnent les observations astronomiques ; OM et NB sont des perpendiculaires au petit axe

r FIGURE DE LA TERRE. ’ III

PN; OM = jr est le rayon àn parallèle .à cette latitude l. Si la Terre était sphérique, le rayon C!tf = R serait la verticale en Al , et l’angle MCA. serait la latitude de ce point M ; mais il n’en est pas ainsi.

Faisons l’arc AM = S, compté dépuis l’équateur jusi^’à M. Lorsqu’on exprin^e algébriquement, en fonction de la latitude/-, .tous les'élémens de la figure elliptique , on trouve les relations suivantes {v. la Géodésie de M. Puissant) :

^ ~ ^ “S l^rayon ON deparallèle,

N = V/(i — MN=o( 1 -^^i^sin^Z-He^sin^f),

/n e=(i— e-)sin*/~l^

R = a Li - ■ ^-e»sin-/ J ~

= a(i — /K sin*/-J- ||t*sin* 2/. . .),

S = — [/— I e*(i + se’) sin2/ + ^etsin4/. . .].

CM

Désignons par A la longueur de l’arc d’un degré de l’équateur ; on a pour celle du degré de méridien et de longitude à la latitude l

Degré de méridien d=rà. X C* + I e*sin® / + e*sin^ l. ...) , Degré de longitude = A cos /( i -f- j e* ain* / -f- 1 e> sin< 4 . . .) ,

Aplatissement ^^=(\/</‘-v/^*);2(4/€p.sin*/- <f “.sin”/'’).

deiA sont ici les longueurs de deux arcs d’un d^ré du méridien , pris aux latitudes / et 4.

Nous adopterons pour valeur de l’aplatissement f* ; les observations astronomiques et les mesures géodésiques s’accordent à très peu près à cet égard : nous introduirons donc cette ' quantité dans nos équations. Nous trouverons en mètres les expressions suivantes : i ' ' -

Digilizea ty Googic

I12‘ .* riGUHE DE LA >-TERRE.

a = 6 377 109 mètres, log a c;^6.8o46338

i = 6 356 ig() . log 6 =:6,8o3ig75 ' ’

log/u si 3.51570016 • . loge’=3.8i6oi76 log (i — «’)= '.9571475

N — a + <t sin* / + /3 sÎQ< /... log « = 4>3<96i >4> log y3 = a.oio6go3

Rasa — «'sin*Z-f.»/e'sin*a/. .. lo^ a' = 4-5^*’334<^

S=AZ — B »tn qZ-4- C sin 4Z. • log /S' = i .6319041

A = iii 119,1 mèt. log A = 5.0457890 log B = 4. J953798 , log C = !.. 4037981.

l est exprimé, daas le i*' terme de S, ea degrés et fractions dé- • cimales.

La longueur ^’un arc d’up degré de méridien , depuis la latitude /, jusqu’à îa latitude / i , est

»•= A — D cos (2/ 4- 0 + E cos 2(2/ +1),

. log D = 2. 7382446, log E = O. o455o6i ,

degré de parallèle à la latitude /, s = cos /.

L’angle CMN = i que fait la verticale ZN avec le rayon CM,

est ...

I = ÿ sin 2/ — ï sin !\l.. . .

en faisant q — i — >.

Si l’on exprime le petit arc i en secondes , pour l’aplatissement 3^, on trouve

log ÿs=2.83oi252g, log j = o.o43gg5.

Les. géomètres ont construit une table où l’on trouve à vue ' la valeur de i qui répond à toute la latitude I donnée. Nous indiquerons plus tard l’usage de cet angle i, qui est la différ. eptre la latitude apparente l , et la latitude géocentrique f , sa^-

voir, / == Z' -+• *•

On peut encore trouver Z' par la formule ‘ * b*

'' Ung r —{i — ^e*) tai^ ^ tang Z= (i — /*)’ tang Z ,

riGURE DE LA, TERRE. Il3

pour l’aplatisseipent /» = 1^ ,■ on trouTe

log (a — — e*) = log ^ — 1.9971475.

Sous la liititude de Paris , ces formules donnent

N = 6 388 972 -iDètres, . . . . . . log N = 6.8o5.{3io ,•

R=6 365 3oo v. .MogR =6.803^189 ■ c=z fil aoo S=^5'4ti 217

' 89. Lorsqu’on veirt lever géométriquement le plan d’une vaste contrée, on imagine que tous les points élevés sont joints par des lignes droItes..Ces lignes, projetées sur le sol, ou plutôt sur la surface de l’ellipsoïde formé jpar le prolongement du iilvean des mers , oest-à-dire sur la surface dnsphéroïde terrestre, dégagée de ses inégalités, couvceiit le pays d’un réseau de triangles. Chaque angle de ces triangles est connu par lés observations' actuelles et le calcul des projections : on mesure une base avec le plus grand soin; et cette l^ase, réduite, par le calcul j du'nivçau des mers, est le côté de. l’un de nos triangles : on peut donc en conclure les longueurs des deux autres côtés. Ceux-ci servent à leur tour d’élémens pour trouver les côtés des triauglcs voisins; et ainsi de proche en proche. Tout «at donc connu dans le Q^eau géodésique. On mesure ensuite astronomiquement la longitude et la latitude de l’un des sommets, et l’on en déduit, par le caloûl, cëlles des autres stations. Comme cette dernière partie die Vq^îération e^t astronomique,'e11e Se rattache aux sujets que nous embrassons dans cet ouvrage ; nous en aidons indiquer les principes. • *

. Soit P le pôle de la Terre ^fig 3g) supposée sphérique, C . son centre, MM' un arc traoé à sa surface suivant une^direclioir quelconque, mais joignant deùx stations M et M' peu distantes; ' CM =N est le rayon de cet arc ; ce rayon est connu (on le prend = la normale au point M). La longueur MM' de cet arc est donnée. Kn désignant par f Varc décrit, avec le rayon un, dans

1 1 4 FIGURE DE. la TERRE.

l’al^g^c MCM' et île sort sommet C , pn a la po-oportion

' ■ i:^::CM ou N :mm' =j^=N<). >■

♦■fc

On a mesuré l’angle M'.MO=se, azimutli de MW' compté à partir du sud O, vers i’est ou vers' l’ouest : PMO, PM'O* sont les méridiens des stations M et M', et l’angle P est la différence' vie leurs longitudes. Dans le triangle sphérique mpm' semblable à PM:Vl', qui serait Jracé sur la sphère cdnccntrlipievle rayon un, on connaît l’homologue de FM ,pm = 90® — la latitude l, celui de M'M , mm'z=. ^ , et l’angle M= 180“ — « ; il s’agit de trouver l’homologue à PM',/J7m'=9o®; — la latitude /'de la station M', l’angle P=j9 différence des longitudes , et enfin, l’angle PM'M, supplément de l’azimuth, MAfO = «1'.’ Comme l’arc mm' est très petit, Pet l-^r = d sont de petîts'arcs.

Dans ce triangle sphérique , on a (équ. 32 , page 4)

, sin 1P ; sia 0 fflii M î cos /' ” sin M' ! cos /;

^n remplace les sinus de P et' de 9 par les arcs, et à cam^ de jr= Np, il vient ' ' ■

^ r sin M-s . ,,, . sin JVI cos / >

= Æ T» wnM' — — P — .

N cos / ■ cos r ’

’ ’ dé-

crit du rayon.,nn , qui mesure rangie rariYi j si i on veut que P cxpriiQe le nombre de secondes de cet ai^, jl fq^t médire P sin 1" âti lipu de P. (^. page 3.) On a.^onc pour la difféi'ence P des longitudes, en secondes d’arc , et pour Va7.imuxh MM'0'=«t du côté MM’, vuxleM',

Dans la i" de ces équ., P désigne la longueur do l’arc, rit du rayon.,nn, qni’roesure l’angle MPM'j si l’on veut

N cos /.sin i"«

sin a,

sin «

co s /

cos t

Mais ceS équ. supposent que la latitude l' de la station M' est connue. Pour la trouver^ formons dans notre triangle sphé-

rique'zwj:^»*' l’équ. (4, page 33)' '

cos pm' = . cos pm cos 7?in*''-f-«in pm sin mm' co* M , .

ou sin Z' = sin l cos f. cos / sia p cos M.