FIGURE DE LA TERRE

or, COS M =s — cos <*, cos = i — ^ ç*, au 3* ordre près ; aiasi% ' . ’ '

I siu r= sin /— 2 sia cos et;

donc sin /— ^sin r= ç.cos / cos ét + jtp* sin /. ^

Or, d’après l’équ. (9), page 2, . '

sin l — sin i' = 2 siu î (/ — î (^ + O = ,(/ — J) cos (Z — id) = <Z (cos Z cos î d + sin Z sin jd), -

à cause de Z — ï—d, qui est un très petit aîrcû Ce dernier ^ iiipmbre développé , au 3' ordre près , revient à d cos Z -f- jd* sin Z, En substituant cette. valetIT pour le premier membre de notre équ. , et la divisant par cos / , il vient

* 4 — 9 cos <* + -î tan^ Z d*). * -

Pour une première approximation , on néglige d’abord lé der~ nier terme, et l’on a ds= 9 cos et; et substituant ensuite pour d cette valeur dans notre second membre /on trouve ^

d = (p cos «t î tang Z 9* sln*^«.

< tt

I.e petit arc d ^est ici exprimé par sa longueiu*, le rayon . étant I ’p pour qu’il le soit en secondes ( page 3 ) , il faut remplacer d par d sin 1"::^ (Z — Z') sin 1". ^

Donc on a , è cause de = N^, ' y *

. \ ' p, jrcoset j^tangZsin**

~ Nsini" 2N*sini* * '

lorsqu on exprime ^ et ISf en mètres, on trouve pour Z = 45" ,

. • compl. log (N sin 1*) = 2.5io5io8.

On peut, le plus souvent, prèiMre cette valeur comme si elle était constante, et négliger de dernier térmequiest en jr'j mais lorsqu’on exige une grande précision , il faut déterminer la • longueur de la normale N pour la latitude donnée Z (p.'ti2) : les deux derniers termes de cette équ. représentent des se' coudes d’arcs. • > ' » - .

Il 6- PAHAM.AXE.

Des équations (i, a et 3) , la dernière fait connaître la latitude de la station M'; les deux autres donnent sa longitude P et l’azimutb •’ du cdté '

' Des parallaxes.

90. Deux observateurs, situés en des lieux difTérens à la surface du globe, ne voient pas l’un et l’autre le Soleil, ni la Lune, ni les planètes répondre au même poiut du cjel, parce que les rayqns visuels menés à l’astre font entre eux un angle nommé parallaxe, et que, prolongés jbsqu’à la Voûte céleste , ils y marquent des points difliérens. Comme les tables astronomiques sont destinées à servir à toute la Terre , on y suppose que l’observateur est placé au centre du globe ; c’est de ce point qu’il est censé voir tous les astres , et en évaluer les longitudes, latitudes , asc. dr., déclin., telles qu’on les a indiquées dans la Conn. des Tems. D’où l’on conclut qu’il faut faire subir à ces arcs des corrections , pour les faire servir à chaque station et leur donner la valeur qui leur convient en ce lieu : c’est ce su).et que nous allons traiter.

L' (Bg. i4) est un astre vu du point O, selon la droite OL', èt l’observateur le rapporte au point du ciel où cette droite va percer cette sphère. S’il était placé au centre C , il verrait l’astre suivant Cfc'. Ces deux droites font entre elles l’angle L', qui est la parallaxe. En effet, comme la voûle céleste est à une distance infinie de nous, la longueur CL' est censée nulle, par rapport à cette distance , et le sommet TJ coïncide avec C quand on compare CL' au rayon de lâ sphère étoilée. L’angle L', ou son. opposé au soinmet, est mesuré par l’arc 'céleste intercepté entre le prolongement des côtés, arc <jiil est précisément le déplacement apparent qu’éprouve l’astre quand on le voit de O et de C. àJmÀ ,'4a parallaxe' d’un astre est l’angle \J , sous lequel de cet astre on voit le rajron terrestre CO mené à l’observateur O.

La parallaxe d’un astre change avec sa distance à là Terre; cAr plus L' s’éloigne , et plus l’angle L' diminue. Les étoiles n'ont aucune parallaxe, parce qu’elles sont situées à l’infini.

parallaxe: ' .117'^

c’est^*dire lur la sphère céleste même: Au'contrairc , comme la Lune est l’astre le plus rapproché tie nous, sa parallaxe est plus grande que celles d^ Soleil et des planètes, et comme elle atteint jusqu’à 1°, on ne peut négliger d’avoir égard à un eflet •nussi considérable. ~ , 1

Toutes les fois qu’on tire de la Conn. des Tems une asc. dr., une déclin., une longitàde, ou une latjlude, pour la faire entrer dans des calculs, l’observateur est censé placé au centre-C du globe", et comme les observations sont faites d’un point O de la surface , il faut , avant tout, corriger Ié?'arcs me.surés , afifi de les' réduire à ce qu’ils seraient si l’observateur était traits- ■ porté au centre C , avec son boriron^t son méridien, parallèle-, menti Alors on peut combiner les résultats avec les données de la Cenn. des Tems, scion les règles prescrites par les formules qui sont propres au problème qu’on veut résoudre. * '

L’astre U vu du centre C, et vu du lieu O, est rapporté au lé*nitb Z ; sous les angles L'Czt=Z , T/Oz = Z', ce dernier arc Z' est la distance zénithale 'apparente ^ l’autre Z est la di.«tance zénithale vraie, ou corrigée de la parallaxe dehauteùr, qui est l’angle U •= p. Il est évident, par la 11g. 14, que le plan tfu triangle CL'O passe p.ir CO et par le zénith z du Heu O ; il est donc vertical. Ainsi la parallaxe s’exerce entièrement dans k sens vertical , et diminue la hauteur de l’astre; c’est-à-dire que pour réduire une hauteur observée de O, à ce qu’elle serait vue du centr| C, il faut y ajouter la parallaxe p de hauteur, ou bien , il faut la fetraneber de la distance zénitliale apparente Z', pour avoir celle Z vue du centre C. ^

D’après ce qu’on a dit delà réfraction (n° 66), il est clair que cet effet s’exerce toujours en sens inverse de la parallaxe; ainsi, U faut ajouter réfraction — parallaxe à la distance zénithale observée , ou retrancher cet^e dilférence de la hauteur apparente, pour âvoir celle qu’on mesurerait si l’on pouvait l’obsepver du centre C , et qu’il n’existât pas d’atmosphère.

En général, la parallaxe s’exérce xerticalemeut, et nous fait juger le Soleil , la Lune çt les planètes plus .has qu’ils ne sont vus du spectateur situé au centre , et transporté avec son hori-

I l8 PARAîXAXE.

Eon' parallèlement. Ce déplacement change les asc. dr., déclin.^ longitudes et latitudes vraies des astres, et nous rechercherons les variations qui en résultent; mais i] ne change pi |éùr azimuth ni les passages au méridien, puisqu’il laisse. j’aslre dans le plan vertical où il se trouve.

gi. Dans le triangle L'OC, où l’angle U =p = parallaxe de hauteur, OC =11= rayon terrestre, et L'C=a= distance de fi au centre C , on a la proportion (équ. 2^, p. 3) ,

d’où

sinj» : sin(i8o° — Z') ;; R : P , A sin ^ = R sin Z'. ^

On voit d’abotJ que p devinât insensible quand A est ,très • ^ grand par rapport à R , c’est-à-dire lorsque l’astre .est fort loin de nous ; et voilà pourquoi les étoiles n’ont pas de parallaxe.

■ Ën-outre, <^uand la distance, zénithale Z' décroît depuis o jusqu’à go", la parallaxe p de hautçur diminue, jusqu’à devenir nulle quand l’astre est au zénith. S’il est à l’horizon, la parai-, laxe est au contraire la plus grande po.sslble pour une distance constante A de l’^al^e. On donne le nom de parallaxe horizon^ l’angle L ( Eg. i4 ) sous lequel un spectateur volt le rayon Oc, lorsqu’il est placé dans l’astre situé à l’horizon de O,. Cette ‘ valeur tnaximuin étant désignée par II , on a 4

... A sin H = R , ■ '

' • Vi* . .

et éliminant A , on trouve .i

-•sin/» = sin H sin Z'. (2)

Comité les arcs /» etH sont en général très petits, on les substitue à leiir sinus, savoir : ' ' .. .

f. ^ = H sin Z'. (3)

Cette équ. sert à trouver la parallaxe p Iht hauteur, quand oh connaît la>^parallaxc horizontale H: éar-/a parallaxe da hauteur est le produit -de la paràllaxe horitontale par le cosinus descelle hauteur, ou par le sinus de la distance au zénith, p et H sont exprimées l’une qt, l’autre, soit en minutes, soit en' se-

P!A.raixa:ke. lAC) •

condcs de degré : 11 désigne la parallaxe. qu’aurait<l’aslre, si, conservant la même distance au centre de la Tèrrq, il était . transporté , par la'peusée , à Fhorizon de l’observateur. Z* donne /> = H, ^e qui est Rident. On Voit aussi comment, de l’équ. asinIl = R, on peut tirer ladistance A.d’un aslreau centre de la Terre, lorsque l’observation a fait connaître sa^^araila^e horizontale H et le rajon Rde laTerre. Mai? ce sujet est étranger àceux que nous devons traiter ici. . U ranographie, n°3^2.)

L’équ. (3) est celle qu’en général on applique aux ob«rv^lions: cependant, s’il «s’agissait de la Lune, et qu’on exigeât' une extrême précision , il faudrait préférer l’équ. (2) , parce que la parallaxe horizontale de cet astre esf'très for.te. Cet arc ' varie avec la distairce de la Lune, depuis 53’ /jS” jusqu’à 6i'24" j il est de 67' 36* pour la distance mojenue. Dans les calculs délicats , il n’est pas permiLde suppaser que cet arc est égal à son sinus. ■“ |r, ’

Pour montrer, sur uu exemple , l’usAge de l’équ. (3) , cherchons la liauteur vraie de la Lune (pour un .observateur situé au centre do la Terre ),^ Je 7 août i83o, à 6* 44^ tçmps vrai de Paris, ladistance zjéuitjiale observée étant Z've= 77“45’.3G*,5. Nous avons trouvé n“ 4$, pour, la parallaxe horizontale de l’astreau même instant H-î=5g'33iî,2-, vpici le calcul (v. p.122) :

' *' sinZ'. Q.gçjnoi^o, *

P !. 3.54307:3.... P — 58.ia,o V

Distance zcnitlinle vraie Z = 76“ 47’ a4" ^ i > ’

c’est-à-dire que si l’observateur est transporté au centre de la Terre , avec son horizon paraïlèle, il verç^ la Lune plus élevée de 58’ i2'',o; la distance zénitbÿe apparente Z' devra doq^ être diminuéed’autant, pour devenir Z, savoir, Z = Z' — p.

92. La parallaxe horizontale d’un astre variant avec la distance , cet arc, pour la Lune, est susceptible de valeurs sans cesse variables , que la Conn. des Tems fait connaître pour tous lès instans. Celle du Soleil ne varie que dans d’étroites limites; on peut, le plus souvent, la regarder eotnnic constante et

.ized Liy Googk

lao * PARALLAXE. T

égale à’sa valeur moyenne UsziS”, 5776,^311151 qu’il résulte des observations des passages de Vémis’sur le disque du Soleil, calculées parM. £ncke. La Conn.fdes Tcms\i. suppose de 8" ,8, ce qui paraît un peu trop fort.

Mais dans les recliercbes oul’on vent de la précision , il faut adopter la valeur de H qui convient à la distance actuelle où se trouve le Soleil, distance qui varie avec les saisons {voyez ^ VUranographie, n“ 3g), et comme cet astre est le sujet de fréquentes observations, on a cotistruit des tables, dont les marins font souvent usage, d’où l’on lire à vue la parallaxe de hauteur pour chaque date et chaque hauteur. Attendu que l’écliptique est une ellipse très peu excentrique, les jibangeincns de distance du Sbieil sont fort petits et la paralîaxe horizontale de cet astre varie peu ; cependant on a égard , dans ces tables', aux changeniens qui résultent de ceux du rayon vecteur. Une fois qu’on a la parallaxe horizontale du Soleil, l’équ. (3) fait connaître celle de hauteur , qu’on marque dans la table dont il s’agit. . . .

gS.rîous avons trouvé la parallaxe/^de hauteur, étant donnée cette hauteur , ou la distance zénithale. sîpparcnte Z' = L'OZ; niais si 'l’on donne la distance zénithale vraie, Z^ L'CZ, comme l’angle T/OZ est extérieur au triangle L'(X) , on a Z'= Z-f-/>. L’équ. (2) dévient donc , en développant sin (Z p) ,

. sin P = sin H ( sin Z cos p -f- cos Z sin p) ,

et divisant par cos p , puis transposant

tang^(i — sin H cos,Z) = sin H sin'Z , - •

1» « sinHsinZ • n • r,, -a n ^

d ou ^angü= :-^rr ;3,= sinHsinZ(i-|-sinHcosZ....),

1 — sinllcosZ . î

eù développant (i — sinH cos Z)“‘. Remplaçons tang p et sinft par ^ et H , ou plutôt par p sin i* et H sin 1", poùr réduire ces petits arcs en secondes ( page 3) , et il viendra .

, /> = H sin Z + ; H* sin 2Z.sm i”. (4)

parallaxe.

lai

Celte équation servira, si l’on veut avoir la hauteur de la Lune a une heure donnée ; car le calcul feil d’après les équ, du qy i33 ne ferait connaître celte hauteur que pourl’observtileur situé au cenïre du globe; pour avoir celle qui convient au lieu proposé, ^il faut donc corriger le résultat de la réfraction — parallaxe', mais en sens contraire de celui dont on a parlé ci-dêssus (n® 91). Cette parâllaxe se^trouve par l’équ. (4), puisqu’on connaît Z. . . •

g4. La parallaxe donnée dans la Conn. des Tems, page 5 de chaque mois, se rapporte à l’Imrizon des lieux situés sous l’équateur terrestre, sous le titre àa parallaxe horizontale équatoriale. Voici le sens qu’il faut attacher à cettç expression. '

Du centre de la Lune, imaginons des droites tangentes au sphéroïde terrestre ; ces droites formeront un cône enveloppant celui-ci, et comme notre globe est ellipsoïdal, la hase de cè cône sera une ellipse dont le grand axe sera le diamètre de l’équateur et le petit celui des pôles, vus de la Lune; c’est-à-dire que, de cet astre, la Terre paraît Comme un disque elliptique. Les génératrices de ce^ cône ,font avec la ligne qui joint les centres des angles variables, qui ne sont autre chose que la parallaxe horizontale de la Lune pour chaque point-; le |>lus grand répond à l’équateur , le plus petit aux< pôles : le premier est la parallaxe' horizontale équatoriale de la Connt des Tems.

Il est facile de déduire de cette dernière parallaxe , 'celle qui convient à une latitude donnée l : car soient H et H' les parai laxes'horizontale^ qui répondent aux latitudes o et l, R et R' les demirdiamètres terrestres de ces deux stations, on a, comme n° 91 > A sin H = R, A sin H'=3R', d’où

‘ ’ sin H R . H R '

mÏTH^^R'’ ÏF“R^’ .

lùaisoo atrouvé(p. iii)'R'=R(i — sin’ / -f sin* 2/. . . ) , /«éi^aot l’aplatissement; donc on. a

H' = H(i — ^sîn* / -f- |/4* sin* 2/) (6)

— H(i — sin* /), à très peu près.

Digiti^wi U, --joogle

^ \ 22 PARAM.AXK.

On voit donc qu’il faut diminuer la ^rqllaxe honionlalc équatoriale H, de üft sin* l, pour avoir m parallaxe horizan-^

^ laie sous la latitude Jl. Les obse^ vation%|^ ûit connaîtra que l’aplatissement (* est ^ ; en at^ptaE^^P^ .râleur , on a ^

Les marin^égli^^nlNn'dinllii^m'ent'^tte correotion due' à l'arplatisseraent du globe terrestre, parce qu’elle est très petite, et que leurs opérations sont atteintes d’autres causes d’erreurs beaupouj^lus considérables. Ce il’est que pour les observations de la liMp qu’il faut en général tenir compte de l’aplalisse- , ment, meme daa^fks ëaksull^lqs plus préeis, pa|ce ,que les autres corps célestes sont trtte^éittniés , pour qu’il en résulte une correction sensible: |i^‘ If' ‘ j

Op trouve , 4 la page an delà Conn. dos Tems , une petite ' table de correction des parallaxes de la Lune , deminute en minute, pour là latitude de Paris, dans^ la supposition de ttois aplatisseraens difiérens ; l’interpolation donne les valeurs intermédiaires. Ainsi, lorsque la parallaxe horizontale est 33" f sous l’équateur, ou trouve qu’elle esta P%ris plus faible de6",75,* pour l’aplatissement

Supposons qney le 7 août i83o, à 6*44' temps vrai de Paris, on demande la parallaxe horizontale en cette ville , dont la latitude est / = 48“ 5o' 1 4*’> on a trouvé (n“ 49) que H = 5q' 33* ,2 ; voici Is calcul de l’équ. (6) : f- ^

l* ïf.SiS^o — sinZ'... 9.9!)f>ni"}i> '

sin’/ 9,75311 H' = 59.-i3i,g/>f 3. 552»;^» .

Apres avoir trouvé 6* ,64 de diminution de H, on obtient la pa- , rallaxe horizontale H' pour Paris. C’est ^ette valeur de qu’il faut employer dans l’équ. (3) pour- H, et l’on trouve, ppur.la distance zénithale Z' r= 77° 45' 36", que la parallaxe de hauteùe y est 58' 5",88 , à retrancher de Z'. Ce calcul est analogue à ce!çig^ du n® gi. . *' ■ • .

GoOgll

PARALLAXE

ia3.

95. La parallaxe, en donqant sur la voûte céleste au Soleil, à la Lune et aux planètes, une place différente de celle que ces * corps ont en effet, pour lespectateur qui les volt du centre de la Terre, change, en apparence, les coordonnées qui déterminent leurs positions, Ainsi J’asc. dr. et la déclin., la longitude et la la latitude dé ces astres sont influencéeâ par la parallaxe; et il * est souvent , nécessaire de connaître l’étendye de ces déplacemens apparens, pour en tenir compte dans les calculs. Nous allons donner les formules qui sont usitées le plus gén^le- ^ j . ment pour ces déterminations. •

Commençons par l’asc, dr. et la déclin.

Soit Pzm (fig. 45) lô méridien, z le zénith du lieu dont la latitude est / , P le pôl^e l’équateur Tna,Vz = 90° — /. Le lieu vrai de l’astre , vu du centre de la Terre , est en u ; u' est' le lieu apparent, ou vu de la surface, le petit arc uu est le déplacement sur le vertical zu', ou la parallaxe de hauteur P = uu' ; cet arc’/7 est donné par les équ. (2, 3 et 4). L’angle horaire vrai zP« =Pcst changé enzPu' = P'; la rariâtion est uVu ou la parallaxe 'd'asc, dr, I.a distance polaire uP, complément de la déclin. D, est changée en u'P; la différence de ces arcs est la parallaxe tr' de d^lin. ou de dùstance polaire ;

D’ est la déclin, apparente, complément de l’arc Pu', et l’oû a

P«' = Pu4-^' = 9o» — (D— »•'), D' = D— ».

EnBn, zu' = Z', distance apparente au zénith^ zu=Z, distance zénithale vraie.

Dans tout ce qui suivra , nous' marquerons d’un accent les valeurs des vatiahles apparentes Z', D', Æ.', vues de la surface terrestre, pour les distinguer des valeurs vraies Z, D , Æ..

Les triangles sphériques «Pu', zPu', donnent ces équations

(3^ > page 4) »

• Ta /

sin u uFu

' sin Pu sin uu' sinzPu' sin u' sin zu' ilîia Pz'

‘134 parallaxe.

Multipliant membre pour membre , sin u' disparaît, et l’on a sin zPm' sin uP«'

siaPu.sinzu' sin uu'.sinPz’’

.sin (P -f- îr) * ' sin sr

sin 3T

cosD.sin^ ainj^.cos/ sin H sin Z' cos Z’

h cause de l’équ. (2) p. 1 18 ; développant sin ( P -f* «*) ; et divisant tout par cos s-, il vient ^

d’où

Posons

sin H cos / (sin P + tang v cos P ) — cos D tang * ;

tang *■ =

sin H cos /sin P

cos D — sin H cos / cos P’

sinHcos/cosP ‘ •

co s D . ’

et nous aurons cette formule propre aux logarithmes,

' ^ sin H cos/ sin P ’sin H cos /sin P..

tang» JJ — cos«/3) 2cos t) sin“ ^ ;8

Ces deux équ. font connaître la parallaxe w d’asc, dr., lorsqu’on a l’angle horaire P de, l’astre, angle qui résulte de son .asc. dr. Æ et de l’heure actuelle. Enfin, . ,

asc. dr. appar. Æ' = asc. dr. vraie .Æ. -f- ». '

Venons-en maintenant ù la parallaxe de déclin. : l’équ. ftmdamenlalé (33) , page 4, appliquée aux deux triangles sphériques PzM , Pzi/, donne >

sinD — cos'Zitin/ 'sin D' — (îos Z' sin /

côs Pz« — d’où l’on tire

sin Z cos /

sin Z' -COS /

sin Z' (sin,D — cosZ sin/)^=sinZ{ sin D'— cosZ' sin /). Réunissons ensemble les deux seconds termes ,

sinZ' sin D— 'sin / (sin If, cos Z — cos Z' sinZ)i=sin Z sin I/.

PABALLÂXE.

La partie renfermée entré les parenthèses revient à . sin (Z'i — Z)c=sin/> = sin H sinZ', à ca^se de l’équ. (2) , page n8; ninsi

^ 8inZsinD'=ssiiiZ'(sinD — sinBsinZ).

Mais, d’un autre côté, l’équ. (32), page 4, appliquée aux deux mêmes triangles, devient

sin

cos D sin P cosD'sîn(P-f-»')

, sin Z , sin Z' ’

d’oè

sin Z cos ly is

sin Z' cos D siii P

sin (P + a-) ‘ , - ,

En divisant raen)bre à membre l’équ. ci-dessus^par cette dernière, il vient ’ ^ ^

• sinD — sinHsinZ .

tang D = . — . sin (P

COS D siu P * ' w

Développons sin (P + »>, çt posons

' ■ sin I =: sin’H sin l.

nous trouvons

^ sin D — sin { , . „

sin D — sin î / tang» cos Ps

\ sin P j’

cos D