TRIGONOMÉTRIE
les change en ceux dont la base est lo, on a
log(i + z) = M(i— — i z' ), (23)
sin A = A — r, r ti, •“ etc* > (24)
cos A =i -'H 5—7 ■
etc.
Soit pris un arc de longueur a dans le cercle dont le rayon est R ; si (</) est le nombre de secondes de cet arc , on a *
log/* = 5,81442 5i33, compl. 6,60557 4867 = log sim";
en socle que, dans une formule algébrique où le rajron est pris = i,etoù entre un arc exprimé par sa longueur a, pour remplacer cet arc par son nombre secondes, il suffît df substituer a sin i" pour A, et a désigne alors le nombre de secondes de l’arc dont a était la longueur. •
La résolution des triangles rectilignes est renfermée dans les formules suivantes; A, B, C sont les trois angles, a, b, c, les longueurs des côtés qui leur sont respectivement opposés ;ic rayon des tables est = i . 0 t-
1°. Si le triangle est rectangle, A étant l’angle droit , et a l’hypoténuse , , ,
b = acosC, ^ * •
c = b tangC, > ‘ - (26)
2*. Si les angles sont quelconques ,
sin A sin B sin C
a* = ô* -f» c® — 26c cos A,
b — c 2 sin ; A
cosf
tang f = -^
V^bc),
INTROUL’OTIOW.
,p = . + i+c. oo
Imaginons des rayons visuels dirigés vers trois astres; ces lignes détermineront trois plans , ou un trièdre, dans l’espace, qui coupera en trois arcs la surface d’une splière de rayon arbitraire, qui aurait son centre à l’œil du spectateur. Les trois points de rencontre de nos arêtes avec la surface , ou les trois faces du trièdre, déterminent donc un triangle sphérique ABC (fig. i), par leur^iutersections avec la surface. Or, la plupart des problèmes que nops -aurons à résoudre par la suite consistent à troBver certaines parties de ce triangle , lorsqu’on en connaît trois. Eu effet , trois de ces parties suffiseut , comme on ' sait , pour lier ensemble les trois points de l’espace ou les trois faces du trièdre. Ces problèmes trouvent leurs solutions dans les règles de la Trigonométrie. "Voici les formules principales qu’on déduit de cette branche de l’analyse. {V. mon Cours de Math, pures, tome H , page 200.)
Désignons par A, B, C les trois angles d’un triangle spbéruiqe (lig. i); par a, b , c les côtés qui leur sont opposés res~ pectivenient^ on a t
sin A
sin B sin b
sin C
sm a sin o sin c ou les sinus des angles , proportionnels aux sinus des côtés opposés. C’est ce qu’pu appelle Véquation des quatre sinus. Le rayon étant un , on a cette équ. fondamentale ,
• • cos c = cos a cos é -f- sin a siii cos C,
• = cos (a — b) — 2 sin a sin é siu'jC.
On a encore les formules r
* cos C = sm A sin B eps c — cos A cos B,
sin a cos c = sin'c cos a cos B + sin b cos C, sin a cot c = cos a cos B -f- sin B cot C , sin a c’os B = sin c cos b — sin b cos c cos A.
TRIGONOinÉTRIE. 5
Il est inutile de dire que chacune de ces équ. en représente trois , qu’oD trouve par ^un simple changement de lettres; par ex., '
cos a — cos b cos c -f~ sin b sin c cos  , et de même pour les autres.
Les équations suivantes servent à résoudre tous les triçn— gles sphériques rectangles ; A. désigne l’angle droit, a l’hypoténuse (Gg. i]. . ,
(m) ..... cos a =: cot cos c, {(f) taog^ = Cing a cos B,**
(n) sin & = sin a sin B, ’’(r) cos B =^cos A sin C,
(/>) cos a = cot BcotC, (i) cot B =: coté sin o.
On connaît dans le triangle ABC (Gg. i), outre l’anglé droit A, deux des cinq autres élémens , et il faut choisir celle d^ ces équ., qui renferme^ces données avec l’inconnue. Voici l’analyse des divers cas .qui peuvent se présenter. ' • t* * * *
Les trois clémens (3 données et nne inconnn^fïsont :
> C deux angles B , C ; prenez Véqualion ^ (p)
L’hypoténuse 1 , „ /‘le côté A opposé.. (n)
< un angle B et i, . , * • ,1
a ce J ° ( lo côte c adjacent (tj) •
. f les trois côtés , b , c (m)
Un côté ô de l’angle droit et les angles B et C. .. .^ (r) r
Deux côtés ô , c de l'angle droit et nn-angle B opposé
On distribuera donc les lettres A, B, C aux sommets du triangle proposé , de manière qu’elles s’accordent avec les conditions énoncées daçs ce tahleau. Ces équ. sufiGsfbt pour résoudre tous les triangles sphériques.rectangles ; mais qjles' manqueraient de précision si l’inconnue était* fort peüfe et donnée par un cos. ou par une cot.; ou bien si'cette inconnue était voisine de 90°, et donnée par un sinus ou une tangente : on recourt alors aux équ. suivantes :
* „ , 1 co%(B -1- C)
tangua— ,
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6 l^TROl)lI^/xnuw.
» tang» i c = tang ^ ^ ,-f- b) . tang J (o — b) , lang (45® — î 6) = V/Uü^fe® — x) , tang ar= sin à sin B,
tang’ ï A = tang
* , Résolution des triangles sphériques obliquangles. ^
^ ’ I. Étant donnés les trois côtés a, b, c, trouver l’un des an — gies? On emploie l’une des deux équ. suivantes ,
-■ * sin 0 sin c ■ •
sin O sin c •
on a
• ’ * » . o.pi=^ a -i~ b + c. r
n. Étant donnés deux côtés a, 6 et l’angle compris C, i”. trouva le 3* côté fc ? L’équation (33) ro met sous la
forme • .
, V ’cos c = cos O cos i ( I + tang a tang b cos C)* ^ (4®)
2®. Trouver les deux angles A et B? On se sert des analogies de Néper, ^ ' "
• UDg i (A + B) = coti G.“’ : , (40
■III. É^nt donnés les trois angles , trouver un côté ? aR = A4-B4-C,
cos (R — B) cos (K ^C)
— cos R cos (K — A)
sin* I a = : — ^ >
“ ^ sin 15 stii (j
sin B sin C
4 TBIGONOMETRIK.
IV. Étant donnés deux angles A , B et le côté adjacent ç\ i“. trouver le 3* angle C?
' cos C = cos A cos B (taiig A tang B cos c — i). (45)
2®. Trouver les deux autres côtés? On se sert des analogies Je •
Néper ,
tang i{a-\-b) = tang i c.
tangi(« — ô)= tangue.
cos J (A — B) r cos HA + B) ’ siti HA — B)w sin ;(A -+• B)'
V. De deux côtés et les angles opposés , étant donnés trçis élémens, trouverje 4“*^ Prene* l’équ. (32) des quatre sinus.^
VI. Excepté lorsqu'on donne trois côtés, ou bien trois angles, il entre toujours parmi les données un angle A et le côté adjacent b, outre une 3* partie. Ces problèmes se résolvent tous par les équ. suivantes et l’équ. (32) ,
tang ip = tang b cos A , c = P + (p' ,
cos a cos Ç)'
cos b cos(p ’ *
tang A sin P', -,
tang B sin p’
eut 6 tang A cos ô , ^ (2)
cos A sin -6 ^ ■
c-sTB=,-n;?’ •
tang a cos ô
tang ô cosIj'" •
On abaisse de l’angle C (fig. i) une perpendiculaire CD sur le côté opposé c, ce qui décompose le triangle proposé en deux triangles rectangles , qu’on résout séparément. Dans l’un, ACD, on connaît A et ô ; rien n’est plus facile que de trouver les autres parties, qui, jointes à la 3* donnée, servent à résoudre le second triangle rectangle BCD, et déterminent l’inconnue de- ' mandée. On appelle p et p' les deux arcs segmens de la base, , Ô et 6' les deux parties de l’angle C , Ct 4 ' culaire CD. * •
Il faut noter que si la j>erpen/idulâîre CD tombait hors du triangle, p et p', 0 et 0' seraient de signes contraires; c’est ce qui arrive quand les angles A et B à la base sont d’espèces dif-
8 INTRODL’CTIOM.
lïrentes ( l’uu <[, l’autre* ]> 90®). Ijorsque l’on ignore si cette ch'constance a lieu , le problème est susceptible de deux so- •* lutions. J •
Observez d’abaisser l’arc perpendiculaire de celui des deux , sommets B ou C, qui ne divise pa's en^deux parties le 3° élément donné avqc A et b.
' Vorci le détail des cas; les données sont A., b et un autre arc.
1°; Étant donnés 4^ux côtés et l’angle compris, b, c. A, l’équ. (i) fait connaître ç, (3) , qui peut être négatif (ce que le
calcul apprend), (5) (7) B, et l’équ. (3a, p. 4) C, dont
l’esj^cê est d’ailleurs connue.
On pont encore trouver le côté a par les équ.
, . sin = cos ï A \/ sii
sin b sin c,
sin* 5 a := sin J (^> -fr c + sin ï (6 -f c — jr).
2®. Etant donnés deux angles et le côté adjacent A, C, b, » l’équ. (2) fait connaître ô , (4) ô', qui peut être négatif (ce que le calcul apprend) , (6)-B , (8) a, enfin , l’équ. (3a, p. 4) des 4 sinus donne c, qui es( d’espèce connue.
3®. Etant donnés deux côtés et un anglê opposé, b, a. A,
l’équ. (1) donne r, (5) (3) c , (7) et (3a) B et C ;
ou bien, (2) donne 0 , (8) 6', (4) C, (6) et (3a) B et c.
Ce problèmei reçoit en général deux solutions. En effet, l’arc <p' oa 0' étant donné par son cos., admet le double signe ± ; il y a donc deux valeurs pour c, et aussi pour C, à moins qu’on ne soit conduit à en rejeter une qui serait négative. et 0' en- ' trent dans (6) et (7) par leurs sinus, d’où résultent deux valeurs de B ; de même pour C et c. ^
^ 4?" Etant donnés deux angles et un côté opposé. A, B, é,
’ l’équ. (i) donne (7) ^^'(3) c, (5) a, et l’équ. (3a) des 4 sinus .-€ait connaître C ;
ou bien (2) donne 0 , (6) 0', (4) C , (8) et (3a) a et c.
Il y a encore ici deux solutions; car ç' ou 6' est donné par un
