Trajectoires elliptiques, paraboliques, hyperboliques

1° — Abordons le cas général du mobile lancé suivant une direction quelconque et attiré en raison inverse du carré de la distance.

Soit BB' un arc de trajectoire.

Il n’y a aucune raison pour que.

le mobile sorte du plan MBB'; la trajectoire est donc plane, Soit r et 4 les coordonnées polaires; le théorème des aires donne la condition :

AS red = CAT. (4)

C. est une constante: C:92 est l'aire balayée dans l'unité de temps.

Le travail de la force F est égal à l'accroissement de la quantité GmM : r, c'est-à-dire à l'accroissement du potentiel GM : r, multiplié par la masse m» sur laquelle agit la force,

Soit v la vitesse de m. Le théorème des forces vives donne :

di mu? GMm ° 2GM r

D dr Un, | Mme

Fig. 131.

En coordonnées polaires, on a :

FE do N EH2GM | (4) (4) (9e Eee, 0

d'après les conditions (1) et (2). On tire de là : (SF ADR 2GM..,,C? (Cr) (es

pe NÉE

r Fr

Astronomie. — H, Bouasse. 20

306 PLANÈTES ET COMÈTES : Divisant membre à membre ces deux équations, il reste :

2e 9GM |

Comparons l'équation (4) aux équations différentielles des coniques (SS 83 et suivants). | AA

Le mobile décrit une conique : c'est une ellipse pour C'<0, une parabole pour C'—0, une hyperbole pour C' > 0. | La nature de la courbe ne dépend donc que de la vitesse v du mobile à la distance r du centre d'attraction ; la direction ge la vitesse n'agit pas sur la nature de la conique. f .& — Précison la signification de l'équation (2) à l'aide des résultats du $ 160. Nous pouvons l'écrire :

Net OU d ? :

S1 la vitesse actuelle est supérieure à la vitesse ®, (vitesse parabo: lique pour la distance actuelle r), la courbe est une hyperbole.

Si u—,, la courbe est une parabole: d'où le: nom donné à cette. vitesse: Quand M est la masse du Soleil, ®, s'appelle encore vitesse | comélaire, parce que, tant qu'elles sont visibles, c'est-à-dire tantqu'elles sont assez proches du Soleil, les comètes voyagent à peu près comme si leur orbite était parabolique, même celles dont les trajectoires s'écartent notablement de cette courbe dans les parties que nous ne pouvons observer. |

Nous savons que la vitesse cométaire vaut sensiblement 42 kilomètres. pour r égal à la moyenne distance de la Terre au Soleil.

"Si vu < ®,, la trajectoire est une ellipse. |

La Terre possède une vitesse linéaire de moyennement de 29,5 kilomètres, inférieure par conséquent à la vitesse parabolique ou cométaire qui correspond à sa distance moyenne du Soleil.

Si nous passons du Soleil à un autre astre, la vitesse cométaire variecomme ÿ M. La Terre ayant une masse 334-400 fois plus petite que celle: du Soleil, la vitesse cométaire qui lui correspond à la même distance, est 577 plus petite; elle vaut 13,66 mètres à la seconde. a

À la distance de la Terre où est la Lune (qui est 389 fois plus proche de la Terre que le Soleil), la vitesse cométaire est 19,72 fois plus grande,

soit 1 453 mètres à la seconde. { : #.

Comme terme de comparaison, rappelons que la Lune est éloignée de: la Terre de 384:400 kilomètres; elle fait un tour en 277» 43% 115 en moyenne. Sa vitesse linéaire moyenne sur son orbite est voisine de 1017 mètres à la seconde, vitesse naturellement inférieure à la vitesseparabolique relative à la Terre.

3° — Identifions les équations différentielles des coniques avec l’équa- Üon (4) ci-dessus trouvée :

Re 0 LT HUILE AREA IR RRQ a (1—e) — C2? ae) 7. C7 TG ME L'équation (2) devient :

se 20 GM TONER 7 Pro je a" ET V?— 1? (6) /

a étant toujours considéré comme positif, le signe supérieur correspond à C'<O, c'est-à-dire à l'ellipse.

Les relations (5) expriment que /a vitesse en un point quelconque de: l'ellipse est la même que si le mobile était Parti sans vitesse du cercle de rayon 2a el était venu en sa position actuelle sous l'influence du centre d'attraction. |

Elles expriment encore que, non seulement la nature de la conique, mais encore la grandeur du grand axe dépendent de la vitesse v à la distance r, el non de la direction de celte vilesse.