AU, , TU) W D WI} M

dei P3 Fig. 140.

\ contraires et reposant sur la même droite. Donc la somme de leurs moments par rapport à un axe quelconque est nulle. ;

D'où l'équation :

d dz ; dy\ on(ut S)=0

et deux autres analogues qui, intégrées, fournissent le système :

Sm(ydz — zdy) = adt, Em(zdx — xdz) = bdi, (3) Em(xdy — ydx) = cdt.

gdz — zdy, représente le double de l'aire Op,p,' que, dans le temps d! - et sur le plan yz, balaie le vecteur Op, issu de l'origine Q et aboutissant

äu point p, de coordonnées y, z. Les premiers membres des équations

(3) représentent donc la somme des produits des masses par les aires que balaient sur les plans coordonnés les projections des vecteurs OP correspondants, allant de l’origine aux divers points P du système.

Cette somme varie proportionnellement au temps.

Comme les. plans coordonnés sont quelconques, nous aboutissons à ‘ce théorème fondamental : Quand un système se meut sous Faction de fôrces centrales résultant de l'attraction, la somme des produits des masses par les aires que balaient sur un plan quelconque fixe les projections des rayons vecteurs OP correspondants, allant d'un point O: quelconque de ce plan aux points P du système, varie proportionnellement au temps.

2° — L'aire balayée sur un des plans coordonnés par la projection Op, du vecteur OP joignant l’origine O au point P du système, est évidemment la projection de l'aire S balayée dans l'espace par le vecteur OP. Soit m la masse du point P. Sur l'aire élémentaire S menons une normale que nous prenons de longueur mSdt. Faisons le même travail pour toutes les aires élémentaires balayées dans le temps dé par les divers rayons vecteurs OP. Composons tous les vecteurs ainsi définis en un vecteur Ad!, dont les cosinus directeurs Sont «, B, +.

Nous obtenons la somme des produits des masses par les aires que balaient sur un plan quelconque les projections des vecteurs OP sur ce plan, en projetant le vecteur Ad! sur la normale à ce plan.

En particulier les quantités ad!, bdt, cdt, qui correspondent aux plans normaux à Ox, Oy, Oz, sont : 2

adi= Au; déj bi AB. dt) Edi—Ay. di:

d’où : a? + b?+ c2— A2,

3° — Évidemment la projection est maxima pour le plan II normal au vecteur À : le plan IT correspond donc au maximum du produit des masses par les aires que balaient les projections des vecteurs correspondants.

Inversement supposons connues les quantités adt, bdt, cdt, relatives aux plans coordonnés; les cosinus directeurs de la normale au plan H sont: R

LE rar mener eue rm Te —— US —= n Va+b+e ê La bc a ù Verre «, $, y, sont Invariables : le plan II reste donc toujours parallèle à luimême, malgré les modifications qui interviennent dans le système d'où son nom de plan invariable ou du maximum des aires. - Pour tout plan normal au plan Il la somme des produits des masses

par les aires que: balaïent les projections des rayons vecteurs OP correspondants, est constamment nulle. a

Si par exemple on prend pour plan IT le plan yOz normal à Ox, on nid —=cC—=d,