Généralisation des théorèmes précédents
Cherchons ce que deviennent ées théorèmes quand l’origine est animée d’un mouvement de translation reciligne ét uniforme.
1° — Prenons donc une origine mobile de Coordonnées £, 7, &.
Rapportons les points du système à des axes de direction invariable passant par cette origine mobile; les nouvelles coordonnées sont 2 DAT CA
On:a: LE LL", y—=n+Yy!, Zz = + 21,
avec les conditions :
Ep A); Le TA | Ê (2)
Elles expriment que le mouvement de l'origine est rectiligne et uniforme; elle coïncide avec l'origine fixe au temps 0. Les relations (1) donnent immédiatement :
dE d? æt | TB = LE = TR 0; Edn —nd£=0,
et deux équations analogues.
De là résultént les équations :
Pro dE uit Due 2: d'z' dPARNATE) FT TE AT dE
Astronomie. — H, BouAssE. 2t
Soit X,:Y,.Z; les s composantes de la force appliquée au point m de coor données x" » ÿ' , 7 ; On a comme avec l’origine Dee
LA = 2x : di m——=X, m ne
SN Pat Ve Ad"
Or que les axes soient fixes ou entraînés d'un mouvement rectiligne et uniforme, il est clair qu'à chaque instant, dans le système de points agissants que nous considérons, la somme des composantes suivant un axe quelconque est nulle, la somme des moments des forces par FAPPÈEE à un axe quelconque est également nulle.
Les théorèmes des $$ 172 et 173 subsistent donc. .
En particulier nous avons vu que pour le système uniquement soumis à des forces intérieures centrales, le centre de gravité se meut d'un mouvement rectiligne et uniforme. Le théorème des aires subsiste done quand on prend ce centre pour origine mobile des coordonnées.
2° — Passons au théorème des forces vives.
La vitesse vraie v d'un point et sa vitesse apparente v’ sont Léo par les équations :
far Vi Aa? a) MN TGS (EY.
er) +) + PCA (ES a):
La différence est :
ce dz' :
2 p2— 9° +9 1 DE (à ame N ©) 1 me fs die +f +f dt 5 83 en posant g—/f+f?+f"; c'est le carré de la vitesse constante 4e l'origine mobile.
d?z ext Re ” Pbae 2 ; D'où : d(m A?) — 2 (fn De IE: pda + + fm dE )
En vertu des relations ci-dessus démontrées, il vient :
Dd(ma)=0, das. | Ainsi à chaque instant la variation de la force vive réelle est égale à la variation de la force vive apparente.
D'autre part le potentiel V ne dépend que des positions relatives des points agissants; donc peu importe qu'on ajoute RE Se us ce la même quantité à leurs æ, y, z Rapprochons ces deux résultats: nous tions que l'équation & subsiste appliquée aux vitesses apparentes et aux coordonnées +’, y', 7.
CS 176. Transformation des équations dans l'hypothèse d'un
corps de masse prédominante. Fonction perturbatrice. 1° — Quand un des, corps du système a une masse prédominante, il est commode de le prendre pour origine des coordonnées.
| à Soient £, n, €, les coordonnées de notre nouvelle origine mobile, dont … la masse est m. Les coordonnées des autres masses m,, m;... Sont donc :
Ë+ x, n + F4; PORT, 1 + Ys CEA,
Posons : ri 2? + yi + 2, Ti = À3 + y? 2; CRT 7 $ & 2 (nm += y) + (2 —2}.
Des hypothèses sur la nature des forces agissantes, résultent immédiatement les équations du mouvement du corps m :
LB ET dr __ÿ$ my, ŒE NU 3 dr der A dE AT Posons : V =.
Les équations du mouvement du corps m, sont :
P(Ex,) mx, 4 aV Et 1; m 2%, et deux autres analogues. HE He En vertu des conditions ci-dessus, elles s'écrivent : ET, 4 -:oV
dx,
mx, mx, sd" der Fr +2 1 UE
et deux autres analogues.
2°— FoNCTION PERTURBATRICE.
Supposons l'existence d’une masse principale m, d’une masse agie m, et d'autres masses beaucoup plus petites m., M, produisant des perturbations. Posons :
n { ; 9 en v nm +-M, —u;: RS ml SES 103 7 YiYe HF. \2 1 1 di 2 r 7è #2 2
PA On vérifera que les équations du mouvement de m, Sont :
+ dx
je 02 HA à dE
ee ee LR re 2,
On a deux équations analogues en y, et z..
Siles masses m et m, étaient seules, on aurait simplement :
a CL MALE er de FER 0
| L'effet des masses perturbatrices m,, m,,... (s'exprime en ajoutant dans les seconds membres des équations du mouvement, respectivement les # dérivées partielles d’une fonction R dite perturbatrice.
Legrand avantage qu’on trouve à expliciter la fonction perturbatrice, est la possibilité de Ja développer en une série de termes périodiques, des intégretions sont immédiates.
