Mouvement direct. Station. Rétrogradation

1° — Résolvons in abstracto le problème suivant : Deux points T et M décrivent des circonférences concentriques de rayons 1 et r, avec des vitesses angulaires qui sont dans le rapport de 1 à +; on demande com-

Fig. 150. ÿ

ment varie .la direction de la droite qui les joint. En fait les points sont la Terre et une planète; la direction de la droite TM est déterminée par la trace de cette droite sur la’ sphère céleste dont nous pouvons considérer le rayon comme infini. La position de cette droite est quel- <onque; sa variation de position ne change pas la position de sa trace. :

Pour un choix convenable de l’unité de temps, les coordonnées des points sont : WA M

DE COSE, y =Siné; æ'=rcoso, y'=rsinof.

| sin{— rsinvt , | Q = 1", ei t8 Cost — rcosvt

D'où en différentiant ;

6 = 1+rs—r(l+o)cos(o —1)4 COS 0 cos é— r COS L)?

842 PLANËTES ET COMÈTES

do s’annule pour les valeurs du temps qui satisfont à l'équation : ï A+ 7° cos (g— 1) =. (1) La condition pour que les racines soient réelles est :

L+ro <r(l+o); ce qui donne : L+r(re) <r+(ro) ro>Apour /r< 1; ro<A pour r>1.

D'après la loi de Képler on a :

Co pit ee PS Les racines de l'équation (1)sont donc toujours réelles, puisqu'enraison

de la loi de Képler, or étant égal à Ÿ 1: r , est plus grand que 1 pour r <1;il est plus petit que 1 pour r > 1.

A+ ro

Posons : (9 —1)f,—=arc CRETE oi

& étant le plus petit arc positif satisfaisant à cette relalion. Les racines de (1) sont alors :

= Eu 20 (2)

‘ Pour que les points T et M soient sur la même droite passant par l'origine S, on doit avoir :

PCR AN cost sint us ae Coseti iso, sin(o —1){—0.

Ne | kr | D'où : te 9 1 e (3)

2° — Pour fixer les idées et préciser le sens des termes que nous employons, construisons la solution pour r—0,4, & —4..

Le point T (Terre) tourne donc 4 fois moins vite que le point M (Mercure).

Sur les circonférences de rayons 1 et 0,4 j'ai numéroté de 1 à 24 les : points correspondants.

Pour représenter la direction de la droite qui passe par les points 1, 4, par exemple, je mène par l’origine S (Soleil) une droite parallèle 4, 4, et je marque un point (point de direction) sur une circonférence.

En fait, pour éviter la confusion, les points sont marqués sur trois circonférences concentriques.

Pour faciliter le langage, j'emploie une année conventionnelle {e 360 jours qui sera la période de rotation de l'astre T (Terre) : il fait donc 1°par jour. Le lecteur véritiera qu'on a très sensiblement = 1; les nombres satisfont à la loi de Képler ; ils ROFÉÉPARERRS approximativement à la Terre et à Mercure.