Loi de Lambert pour un corps non lumineux par lui-même

Fig. 158.

1° — Reprenons le problème dans l'hypothèse plus exacte d'un corps .

non lumineux par lui-même : voici ce que devient la loi de Lambert...

Les planètes sont éclairées par le Soleil. Soit à l'angle que fait, avec .

l'élément ds de la surface de la planète, la droite SP qu la joint au Soleil. La quantité de lumière reçue est :

Q=Scosi:r?,

où S est une constante absolue, si l’on néglige les variations d'éclat de

la surface solaire dues aux taches et autres modifications périodiques. Dans la direction ”, l'élément do renvoie une quantité de lumière Q”

qui est, d’après la loi de Lambert :

Q—Se,<0si.cosi

O'=stosre

nr ul 5 ca.

Ki k 11 a) PNR ï m2 a re ( AR A ME 12 En NN AE ne FO je ï î éclairement sur l'unité de surface normale aux rayons, à la distance Dar cuites MA dvi asie | ERTUAS ; RTS : Nr L LA in A 0e ON -à cos cost

F' 90 + Appliquons à une sphère.

€ Fig. 150. 52 he Les rayons tombent dans la direction SV et sont diffusés dans la direction VT. Fe L'élément ds de surface à pour valeur:

1 ds=Rcos!.dl.dL.

Les angles i et d sont fournis par les rélations :

cosi=cos/.cosL, cosi—cos!.cos(i — L).

La Wuantilé de lumière envoyée par l'élément ds est donc propor-

cos’/.cosL cos(5 Li AR AR 2

Les variables sont séparées. Pour le fuseau compris entre les grands ercles de longitudes Let L+ dE, la quantité envoyée est : ; | cosL.cos(—L).4L / cost! dl= + cos(>— L). cosL. L. Ed L'intégration est faite entre—r:2et+tr:2 (fe ie

R à int Nes NS ee este à intégrer : 3.) CoS(ô — L).cosL.dL,

pour l’arc AB, c'est-à-dire entre les limites DA et BD, où encore :

mr 225) ét. Ame. :

13 LA S D a ? e On trouve aisément 3 LG — Ô) COsè + sin | -

Fig. 160.

A la place de l'angle à prenons le supplément à = x — à.

L'expression devient : | Do

3 (sin x — x COS a).

En définitive l’éclairement reçu par la Terre est :

Une (Sin & — x COS a)

se, “ne e \

3° — Comparons les fonctions qui entrent dans les éclairements q

dans l'hypothèse du $ 198 et dans l'hypothèse actuelle : y—1—cose, y = © (sina — a 0054).

Elles sont nulles pour «—0. On a y = pour a— r. La seconde est constamment au-dessous de la première, + Ainsi pour «= x : 2, la première vaut 1, la seconde vaut 0,636.

a — 0 correspond à la conjonction inférieure; GT —— — supérieure.

De là résulte qu’à partir de la conjonction inférieure pour laquelle

l’astre disparaît, son intensité globale croit moins vite dans l'hypothèse exacte où il diffuse la lumière reçue (en admettant la loi simple de Lambert); que dans celle où il se conduit comme lumineux par lui-même. Gela lient à ce que près de la conjonction inférieure, les régions vues sont éclairées très obliquement, par suite reçoivent moins.de lumière que près de la conjonction supérieure. !

Il faut donc rapprocher de celle-ci le maximum d'intensité globale.

Au reste le $ 198 n’en perd pas son intérêt, la discussion devenant

très compliquée avec la formule exacte et le sens de la correction étant, comme on le voit, facile à déterminer.

200. Distribution des éclats quand l'astre est vu en phäse ronde. |

En conjonction supérieure pour les planètes inférieures, en opposi-

Fig. 161.

tion pour la Lune ou les planètes supérieures, l'astré est en phase

ronde. On demande ce qui résulte de la loi de Lambert pour la variation

de l'éclat du centre au bord par unité de surface apparente.

Si le corps était lumineux par lui-même et obéissait à la loi de Lambert, on le verrait comme un disque plat. Effectivement la quantité émise par une couronne d’aire ds dont les circonférences limites ont pour rayons r et r + dr, est proportionnelle à de. cost.

. Mais on a :

dr

do=Qrr.ds—9rr-7.

cost

; ds COSi — 9x r dr,

Jr

32600 à PLANÈTES ET COMÈTES La quantité de lumière émise est Proportionnelle à la surface apparente : la sphère semble un disque plat.

Si le corps n’est plus lumineux par lui-même, la quantité de lumière qu'il reçoit par unité d’aire, est proportionnelle à cosi: à et r sont égaux, le Soleil et la Terre étant tous deux très loin sur Vx (par bypothèse). La quantité de lumière émise par unité de surface apparente est donc proportionnelle à : :

Elle varie comme les ordonnées AB de la circonférence.